28.5. Алгебра равновесия

Если обозначить функцию спроса индивида A на товар 1 через (p₁, p₂)22, а функцию спроса индивида B на товар 1 — через (p₁, p₂)23 и определить аналогичные выражения для товара 2, то можно описать указанное равновесие как такую совокупность цен (,)24, при которой

(,) + (,) = +,

(,) + (,) = +.

Эти уравнения свидетельствуют, что в равновесии общий спрос на каждый товар должен быть равен его общему предложению.

Другой способ описания равновесия состоит в том, чтобы преобразовать эти два уравнения, получив

[(,) —] + [(,) —] = 0,

[(,) — ] + [(,) —] = 0.

Эти уравнения говорят о том, что сумма количеств чистого спроса каждого индивида на каждый товар должна равняться нулю. Или, другими словами, чистое количество, на которое A предъявляет спрос (или которое предлагает), должно равняться чистому количеству, которое B предлагает (или на которое предъявляет спрос).

Рис. 28.4

Равновесие в ящике Эджуорта. В равновесии каждый индивид выбирает наиболее предпочитаемый набор из своего бюджетного множества, и совокупность наборов спроса равна наличному предложению.

Еще одна формулировка этих уравнений, характеризующих равновесие, следует из понятия функции совокупного избыточного спроса. Обозначим функцию чистого спроса индивида A на товар 1 выражением

(p₁, p₂) = (p₁, p₂) —

и определим подобным же образом (p₁, p₂)25.

Функция (p₁, p₂)26 показывает величину чистого спроса индивида A или величину его избыточного спроса — разность между тем количеством товара 1, которое он хочет потребить, и имеющимся у него начальным запасом товара 1. Сложим чистый спрос индивида A на товар 1 и чистый спрос индивида B на товар 1. Получим выражение

z₁(p₁, p₂) = (p₁, p₂) + (p₁, p₂) =

= (p₁, p₂) + (p₁, p₂) — —,

которое назовем совокупным избыточным спросом на товар 1. Существует и аналогичный совокупный избыточный спрос на товар 2, который обозначим как z₂( p₁, p₂)27.

Тогда можно описать равновесие (,)28, сказав, что совокупный избыточный спрос на каждый товар равен нулю:

z₁(,) = 0 29

z₂(,) = 030.

На самом деле, это определение жестче, чем требуется. Оказывается, если совокупный избыточный спрос на товар 1 равен нулю, то совокупный избыточный спрос на товар 2 с необходимостью должен равняться нулю. Чтобы доказать это, удобно вначале установить свойство функции совокупного избыточного спроса, известное как закон Вальраса.

28.6. Закон Вальраса

В условных обозначениях, введенных выше, закон Вальраса гласит, что

p₁z₁( p₁, p₂) + p₂z₂( p₁, p₂)31  0.

32

Иначе говоря, стоимость совокупного избыточного спроса тождественно равна нулю. Утверждение "стоимость совокупного спроса тождественно равна нулю" означает, что она равна нулю для всех возможных выборов цен, а не только для равновесных цен.

Доказательство этого следует из суммирования бюджетных ограничений двух индивидов. Рассмотрим вначале индивида A. Поскольку его спрос на каждый товар удовлетворяет его бюджетному ограничению, мы имеем

p₁(p₁, p₂) + p₂(p₁, p₂)33  p₁+p₂

или

p₁[(p₁, p₂) — ]+p₂[(p₁, p₂) — ]34 0

p₁(p₁, p₂) + p₂(p₁, p₂)35  0.

В этом уравнении утверждается, что стоимость чистого спроса индивида A равна нулю. Иными словами, стоимость того количества товара 1, которое хочет купить индивид A, плюс стоимость того количества товара 2, которое он хочет купить, должна равняться нулю. (Конечно, количество одного из товаров, которое он хочет купить, должно быть отрицательным — иначе говоря, он намеревается продать один из товаров, чтобы купить больше другого товара.)

У нас имеется аналогичное уравнение для индивида B:

p₁[(p₁, p₂) —]+p₂[(p₁, p₂) —]36 0,

p₁(p₁, p₂) + p₂(p₁, p₂)37  0.

Сложив эти уравнения для индивидов A и B и воспользовавшись определением совокупного спроса z₁( p₁, p₂)38 и z₂( p₁, p₂)39, получаем

p₁[(p₁, p₂) + (p₁, p₂)] + p₂[(p₁, p₂) + (p₁, p₂)]40  0,

p₁z₁(p₁, p₂)41 + p₂z₂(p₁, p₂)42  0.

Теперь можно увидеть, откуда следует закон Вальраса: поскольку стоимость избыточного спроса каждого индивида равна нулю, стоимость суммы избыточных спросов индивидов должна равняться нулю.

Теперь можно наглядно показать, что при равенстве спроса предложению на одном рынке спрос должен быть равен предложению и на другом рынке. Обратите внимание на то, что закон Вальраса должен соблюдаться для всех цен, так как бюджетное ограничение каждого из индивидов должно удовлетворяться при любых ценах. Поскольку закон Вальраса соблюдается для всех цен, он, в частности, соблюдается для совокупности цен, при которой избыточный спрос на товар 1 равен нулю:

z₁(,) = 0. 43

Согласно закону Вальраса должно соблюдаться

p₁z₁(,) +p₂z₂(,) = 0. 44

Как легко вывести из этих уравнений, если p₂ > 045, то должно быть

z₂(,) = 0.

Следовательно, как утверждалось выше, если мы найдем совокупность цен (,46), при которой спрос на товар 1 равняется предложению товара 1, нам гарантировано, что спрос на товар 2 должен равняться предложению товара 2. Напротив, если мы найдем совокупность цен, при которой спрос на товар 2 равен предложению товара 2, нам гарантировано, что рынок товара 1 будет находиться в равновесии.

Вообще, если имеются рынки для k товаров, достаточно найти совокупность цен, при которой в равновесии пребывают k — 1 рынков. Из закона Вальраса в этом случае будет следовать, что на рынке товара k спрос автоматически должен быть равен предложению.