Исходные переменные x1 и x2 принимаем в качестве небазисных, а дополнительные x3 , x4 и x5 считаем базисными и составляем симплекс-таблицу

(табл. 3.2). Решение, соответствующее табл. 3.2, не является допустимым; ведущий элемент обведен контуром и выбран в соответствии с шагом2 приведенного ранее алгоритма. Следующая табл. 3.3 определяет допустимое базисное решение, ему соответствует вершина ОДЗП [0,2] на рис. 3.5. Ведущий элемент обведен контуром и выбран в соответствии с5-м шагом алгоритма решения задачи. Табл. 3.4 соответствует оптимальному решению задачи, следовательно:

3.5. Метод искусственного базиса

Метод искусственного базиса используется для нахождения допустимого базисного решения задачи ЛП, когда в условии присутствуют ограничения типа равенств. Рассмотрим задачу:

В ограничения и в функцию цели вводят так называемые«искусственные переменные» R j следующим образом:

n n m

åa ji xi + R j = b j , j =1, m; F (x) = åci xi - M åR j .

i =1 i =1 j =1

При введении искусственных переменных в функцию цели им приписывается достаточно большой коэффициент M, который имеет смысл штрафа за введение

26

искусственных переменных. В случае минимизации искусственные переменные прибавляются к функции цели с коэффициентомM. Введение искусственных переменных допустимо в том случае, если в процессе решения задачи они последовательно обращаются в нуль.

Симплекс-таблица, которая составляется в процессе решения, называется расширенной. Она отличается от обычной тем, что содержит две строки для

n

функции цели: одна – для составляющей F = åci xi , а другая – для составляющей

i =1

m

M åR j . Рассмотрим процедуру решения задачи на конкретном примере.

j =1

Пример 3.3. Найти максимум функции F (x) = -x1 + 2x2 - x3 при ограничениях:

x1 ³ 0, x2 ³ 0, x3 ³ 0 .

Введем искусственные переменные в ограничения задачи

2x1 + 3x2 + x3 + R1 = 3; x1 + 3x3 + R2 = 2 .

- 3x2 - 4x3 , тогда F (x) = -x1 + 2x2 - x3 - M (5 - 3x1 - 3x2 - 4x3 ) .

При составлении первой симплекс-таблицы (табл. 3.5) будем полагать, что исходные переменные x1, x2 , x3 являются небазисными, а введенные искусственные переменные – базисными. В задачах максимизации знак коэффициентов при небазисных переменных в F- и M-строках изменяется на противоположный. Знак постоянной величины в M-строке не изменяется. Оптимизация проводится сначала по M-строке. Выбор ведущих столбца и строки, все симплексные преобразования осуществляются как в обычном симплекс-методе.

27

Домножим первое из ограничений на(-1) и введем в ограничения дополни-

цели F (x) = F (x) + M × å R =2x1 + 3x2 - x3 + M × (4 - x1 + x2 - 2x3 ).

В первой симплекс-таблице (табл. 3.8.) коэффициенты при небазисных переменных в F-строке и M-строках знака не меняют, так как осуществляется минимизация функции. Свободный член в M-строке берется с противоположным знаком. Решение, соответствующее табл. 3.8, не является допустимым, так как есть отрицательный свободный член.

Выберем ведущий столбец и строку в соответствии с шагом2 алгоритма решения подраздела 3.6. После пересчета получим табл. 3.9. Оптимизация решения (шаг 5 алгоритма) осуществляется вначале по M-строке. В результате x3 введем в

базис, а переменную R исключим из рассмотрения, сократив количество столбцов. После пересчета получим табл. 3.10, которая соответствует оптимальному решению задачи.

Т а б л и ц а 3.10

29