на управлениях u (t ) и соответствующим им значениях x(t) Î X , и переводит ОУ из начального состояния x0 в заданное xT . Здесь x(t) – решение системы

(1.1) с начальными условиями x(t0 ) = x0 , соответствующее управлению u* (t).

Для решения задач параметрической оптимизации используют методы математического программирования; для решения задач оптимизации управления– вариационные методы, принцип максимума Понтрягина, динамическое программирование.

Тема 2. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ

2.1. Постановка задачи математического программирования. Виды экстремума функций многих переменных

К задачам математического программирования (МП) относятся задачи оп-

тимизации, в которых отыскивается экстремум заданной скалярной функции многих переменных при ограничениях в форме системы равенств и неравенств. Все они с формальной точки зрения могут быть сведены к следующей постановке.

Найти значения переменных x1, x2 ,..., xn , доставляющие экстремальное значения некоторой функции F = F (x1, x2 ,..., xn ) и удовлетворяющие m уравнениям и неравенствам

янные величины. Условия (2.1) называются ограничениями. Как правило, отдельно оговариваются ограничения на знак переменных xi ³ 0, i =1, n , так как методы их учета могут быть иными, чем сложных ограничений типа(2.1). Могут налагаться условия целочисленности переменных. Кратко условия задачи МП можно записать следующим образом:

min(max) {F (x) g j (x)(£, =,³)b j , xi ³ 0,i =1, n; j =1, m}.

Если при определении экстремума ограничиться рассмотрением минимизации, задача не теряет общности, так как максимизация функцииF1(x) эквивалентна минимизации функции F (x) = -F1(x) , т.е. max F (x) = -min[ -F (x)].

6

Функция F = (x1, x2 ,..., xn ) называется целевой функцией, или функцией це-

ли. Переменные xi , удовлетворяющие совокупности заданных ограничений, представляют собой допустимое решение задачи, и называются планом задачи. Допустимое решение, доставляющие экстремум функции целиF = F (x1, x2 ,..., xn ) ,

называется оптимальным решением, или оптимальным планом. Не каждая за-

дача математического программирования имеет планы, так как не каждая система ограничений имеет решение.

Основные виды экстремума функций конечного числа переменных.

Пусть F (x) определена в некоторой области R переменных x1, x2 ,..., xn . Если на переменные не накладывается никаких ограничений, т. е. область R не ограничена, то экстремум функции F (x) называется безусловным, а в противном слу-

чае – условным.

Простейшая задача оптимизации связана с нахождением значений переменных, обеспечивающих экстремум функции цели при отсутствии ограничений, т.е. с нахождением безусловного экстремума функции.

Безусловным глобальным минимумом(максимумом) функции называется наименьшее (наибольшее) в пределах всей рассматриваемой областиR значение

этой функции. Если в некоторой точке x = x0 Î R функция F (x) имеет меньшее (большее) значение, чем во всех точкахx , принадлежащих некоторой малой

окрестности точки x0 , то говорят, что в этой точке имеет местолокальный минимум (максимум) функции F (x) .

На рис. 2.1, а изображена функция F (x) , заданная на неограниченной обла-

сти R, здесь в точках x1* и x*2 достигается соответственно глобальный безусловный максимум и минимум функции F (x) , так как

F (x*2 ) £ F (x) и F (x1*) ³ F (x) для "x Î R .

В точках x10 и x20 достигается безусловный локальный минимум и максимум функции F (x) , так как в e окрестностях этих точек удовлетворяются условия:

F (x10 ) £ F (x10 ± e) , F (x20 ) ³ F (x20 ± e) , e > 0 .

Очевидно, что если в пределах области R имеется всего один минимум(максимум), то он является глобальным.

При наличии ограничений областьR ограничивается областью допустимых значений переменных X. В этом случае точки экстремума должны обязательно принадлежать области X и сам экстремум называется условным. При этом экстремумы называются граничными, если они имеют место в граничных точках области и внутренними, если соответствуют внутренним точкам области X.

7

На рис. 2.1, б область X ограничена: X ={x | a £ x £ b}. Точке x10 здесь будет соответствовать условный глобальный минимум функцииF(x), а точкам x = a и x = b – условный локальный и глобальный максимум соответственно. Причём экстремумы в точках x = a и x = b являются граничными. Для решения практических задач наибольший интерес представляет нахождение глобального условного экстремума.

F(x)

F(x)

x1o

б

Рис. 2.1. Примеры экстремума функции одной переменной:

а– безусловные; б – условные

2.2.Определение выпуклости функций

Одним из важнейших понятий, используемых в математическом программировании, является понятие выпуклости. Точечные множества S называются вы-

8

[ax1 + (1 - a)x2 ]Î S , где a Î [0,1] . Геометрически это означает, что если две точки принадлежат множеству S, то и весь отрезок, соединяющий эти точки, принадлежит S.

На рис. 2.2, а показано несколько примеров выпуклых, а на рис. 2.2, б – несколько примеров невыпуклых множеств.

Аналогично дается определение выпуклой функции. Функция F (x) является выпуклой на выпуклом множестве S, если для любых двух точек x1, x2 Î S выполняется соотношение

где a Î [0,1] .

Рис. 2.2. Примеры выпуклых и невыпуклых множеств: a – выпуклые множества; б – невыпуклые множества

Если в (2.2) знак « £» можно заменить на знак строгого неравенства« < », то функция F (x) будет строго выпуклой. На рис 2.3 показана геометрическая интерпретация определения выпуклой функции одной переменной, откуда следует, что выпуклая функция F (x) всегда расположена ниже любой прямой, соединяющей две точки на её поверхности. Если знак неравенства (2.2) изменить на обрат-

ный, то F (x) будет вогнутой, или выпуклой вверх функцией.

9