Оптимальное решение x3* =[2,7; 2,2], F (x3* ) = 4,9 .

Выполнение итераций следует продолжать до тех пор, пока ограничения не будут выполнены с заданной точностью e . Точное решение рассматриваемой за-

дачи достигается в точке x* = [2,5; 2] , при этом Fmax = 4,5.

6.3. Сепарабельное программирование

Функция F (x1, x2 ,..., xn ) называется сепарабельной, если её можно предста-

вить в виде суммы функций, каждая из которых зависит только от одной перемен-

ной, т.е. F (x1, x2 ,..., xn ) = F1 (x1 ) + F2 (x2 )+,...,+Fn (xn ) .

Сепарабельное программирование (СП) предназначено для решения нели-

нейных задач, в которых целевая функция и функции, входящие в ограничения, являются сепарабельными. При этом процедура решения нелинейной задачи сводится к решению одной или нескольких линейных подзадач, порожденных исходной, на основе линейной аппроксимации нелинейных функций и специальной модификации симплекс-метода.

Рассмотрим вначале кусочно-линейную аппроксимацию функции одной переменной F (x) , заданной на интервале [0, a] (рис. 6.4).

F(x)

Рис. 6.4. Кусочно-линейная аппроксимация функции одной переменной F(x)

102

Предположим, что интервал [0, a] разбит на ряд интервалов меньшей длины некоторой совокупностью точек. Соединяя отрезками точки кривой, соответству-

~

ющие разбиению, получим график кусочно-линейной аппроксимации F (x) функ-

ции F (x) . Определим xk , k =1, K как k-ю точку разбиения по оси X . Точки x1 и xk совпадают с граничными точками интервала. Тогда аппроксимация F (x) записывается в виде

разбиения.

K

Весовые множители удовлетворяют условию åtk = 1. При этом справедливы

k =1

следующие утверждения:

1. Не более двух весовых множителей tk принимают одновременно положи-

тельные значения.

2. Если значение tk > 0 , то положительным может оказаться только один из весовых множителей для смежных точек разбиения, т.е. tk -1 или tk +1 . Выполнение этого требования гарантирует, что в качестве приближения к F (x) рассматриваются точки, принадлежащие одному из отрезков кусочно-линейного графика.

Точность приближения зависит от выбора точек разбиения. В общем случае они должны располагаться неравномерно. В области более быстрого изменения функции F (x) , которой соответствуют большие значения производной, интервал между точками разбиения следует уменьшать.

При кусочно-линейной аппроксимации непрерывной сепарабельной функции

социированный с этой точкой. Тогда в результате аппроксимации функцию F (x) можно представить следующим образом

103

а ограничения задачи свести в систему

которое обеспечивает положительность весовых коэффициентов, соответствующих смежным точкам разбиения.

Переменными в аппроксимирующей задаче являются tik . Такую задачу можно

решить как задачу ЛП большой размерности, используя некоторую модификацию симплекс-метода. Условие (6.8) может быть учтено введением правила ограниченного ввода в базис. Согласно этому правилу в базисное решение можно вклю-

чать не более двух положительных множителей tik , которые должны соответство-

вать смежным точкам разбиения.

Процесс продолжается до тех пор, пока не будет выполнено условие оптимальности или установлена невозможность введения новой базисной переменной

tik без нарушения правила ограниченного ввода в базис.

Пример 6.3.