Тогда

¶F

= 24,22 a1 -9,56 = 0

и a1 = 0,39.

1

¶a

и значение F (x2 ) :

Находим координаты точки x2

x2 = 0,49 + 2,51× 0,39 =1,47;

x2 = 2,41 - 2,41× 0,39 = 1,47;

1

2

F (x1 ) = (1,47 - 2) 2

+ (1,47 - 2)2 = 0,56 .

Точка

x

2

~1*

и x

1

.

лежит на прямой, соединяющей x

Следует заметить, что от итерации к итерации значение функции цели

уменьшается. Истинный экстремум x* = [1,5; 1,5]

может быть достигнут на следу-

max{F (x) = cT x

g

j

(x) ³ 0, j =

1, m

; x ³ 0, i =

1, n

},

(6.4)

i

гиперкуб,

т. е.

множество

Z 0 ,

задаваемое

следующими

неравенствами

Z 0 = {x

a

£ x

£ b , i =

}; при этом выбор a

и b

гарантирует, чтобы

X Ì Z 0 .

1, n

i

i

i

i

i

Это достаточно грубая, но наиболее простая аппроксимация.

На

рис.

6.2

показана

замена

нелинейной

областиX для случая двух

переменных

прямоугольником,

определяющим

линейную

область

Z 0 = {x

a £ x £ b ; a

2

£ x

2

£ b }.

1

1

1

2

Используя это приближение в качестве ограничения, получим следующую

первую подзадачу ЛП:

max{F (x) = cT x

x Î Z 0}.

(6.5)

x2

b2

x1*

Z0

x3*

x2* ~

X

1*

)

g p1 (x, x

F1

~

(x, x

2*

)

g p2

a1

x1

b1

Рис. 6.2. Линейная аппроксимация допустимой области

~

(x, x

1*

) » g j (x

1*

) + Ñg j (x

1*

)

T

[x - x

1*

] .

(6.6)

g j

Келли предложил осуществлять на каждой итерации линеаризацию только

одного ограничения g p (x) ,

которое нарушается в рассматриваемой точке наибо-

~

1*

) отсекает от Z

0

часть области вме-

Линеаризованное ограничение g p

(x, x

1

сте с точкой x1* , но не затрагивает X. В результате получается некоторая меньшая

область Z 1 , представляющая собой

ОДЗП для

второй

линейной подзадачи

ется

линеаризации. В

результате

строится

дополнительное

ограничение

~

(x, x

2*

) , которое отсекает часть области Z

1

вместе с точкой x

2*

, и получается

g p2

~

(x, x

k *

) = g p (x

k *

) + Ñg p

(x

k *

)

T

[x - x

k *

] .

g p

max{F (x) = x + x

2

- 2x

+ x2 £ -1; 0,8x2

+ 2x

2

£ 9; x

³ 0}.

1

1

2

1

1,2

Преобразуем

ограничения

квиду

g (x) =2x -x2 -1³0

и

1

1

2

g

2

(x) = 9 - 0,8x2 - 2x ³ 0

и построим нелинейную ОДЗПX,

ограниченную кри-

1

2

выми g1(x) = 0,

g2 (x) = 0 и

учитывающую

ограничения

на

знак переменных

графиков g1(x) и

g2 (x)

представлены в табл. 6.7.

Т а б л и ц а 6.7

1+ x 2

9

- 0,8x 2

Для g1 (x) : x1 ³

2

Для

g 2 (x) : x2

£

1

2

2

x2

0

1

2

3

x1

0

1

2

3

3,35

x1

0,5

1

2,5

5

x2

4,5

4,1

2,9

0,9

0

1-й

шаг. Начальные границы линейной

областиZ 0 зададим условиями

0 £ x1 £ 4

и 0 £ x2 £ 3 , которые определяют соответствующий

прямоугольник,

включающий X (рис. 6.3).

2-й шаг. Находим максимальное значение

функции F (x) = x1 + x2 при ли-

нейных ограничениях, определяющих область Z 0 . Очевидно, что решением явля-

ется точка x1* = [4, 3] , при этом F (x1* ) = 7 .

3-й

шаг. Вычисляются значения ограничений в точкеx1* :

g (x1* ) = -2,

x2

4

g2 (x)

~

1*

)

g2

(x, x

3

x2*

x 1 *

g

(x, x2* )

x 3 *

1

F = 1

2

g1(x)

1

0

x1

0

1

2

3

3,4

4

Рис. 6.3. Графическая интерпретация процесса решения примера 6.2

~

1*

) = g2 (x

1*

) + Ñg2 (x

1*

)

T

1*

] . Вычисляется

ответствии с выражением: g2

(x, x

[x - x

градиент g

(x) :

Ñg

(x) = é¶g2

;

¶g2

ù

= [-1,6x ;

- 2] , Ñg

(x1* ) = [-6,4; - 2] , тогда

ú

2

2

ê

¶x

¶x

2

1

2

ë

1

û

~

(x, x

1*

ìé x1

ù é4ùü

= -9,8 - 6,4(x1 - 4) - 2(x2 - 3) =

g2

) = -9,8 -[6,4; 2] íê

ú

- ê úý

îëx2

û

ë3ûþ

~

1*

) можно представить в

Выполнив определенные преобразования, g2

(x, x

виде 3,2x1 + x2 £ 10,9

~

1*

) представлена прямой линией, отсека-

. На рис. 6.3 g2

(x, x

ющей от области Z 0

часть ее вместе с точкой x1* .

Т а б л и ц а 6.8

Т а б л и ц а 6.9

Т а б л и ц а 6.10

БП

Св.чл.

НП

БП

Св.чл.

НП

БП

Св.чл.

НП

x1

x2

x1

x4

x3

x4

x3

10,9

3,2

1

x3

7,9

3,2

-1

x1

2,47

0,31

-0,3

x4

3

0

1

x2

3

0

1

x2

3

0

1

F

0

-1

-1

F

3

-1

1

F

5,47

0,31

0,69

Оптимальное решение:

x2* = [2,47;3],

F (x2* ) = 5,47.

Вторая итерация.

1-й шаг. Вычисляются значения исходных нелинейных ограничений в точке

x2* : g1 (x2* ) = -5,06; g2 (x2* ) = -1,88 .

Наиболее сильно нарушается ограничение g1 (x) ³ 0 ; осуществим его линеа-

ризацию в соответствии с выражением

~

2*

) = g1 (x

2*

) + Ñg1 (x

2*

)

T

[x - x

2*

].

g1 (x, x

2-й

шаг.

Вычисляется

градиент

функции g (x) : Ñg

(x)T

=

é¶g1

;

¶g1

ù

=

ú

1

1

ê

¶x

¶x

2

ë

1

û

= [2; - 2x

] ,

Ñg (x2* ) = [2; - 6] .

Тогда

g%

(x, x2* ) = -5,06 +[2 -

ìé x

ù

-

é2, 47ùü

=

6]í

1

ú

ê

3

ú

ý

2

1

1

êx

= 2x1 - 6x2 + 8 ³ 0 или - x1 + 3x2 £ 4 .

îë

2

û

ë

ûþ

Получили линейное ограничение, которому на рис. 6.3 соответствует прямая

~

2*

) = 0 , отсекающая часть плоскости Z

1

вместе с точкой x

2*

. В ре-

линия g1(x, x

зультате образуется новая ОДЗП Z 2 .

3-й

.шаг Решается

задача

линейного

программирован

max{F (x) = x

+ x

2

x ÎZ 2}, где Z 2 = {x

3,2x

+ x

2

£10,9; - x

+ 3x

2

£ 4, x , x

2

³ 0} .

1

1

1

1