Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Вятский государственный университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Математические основы теории систем_1 / Лекции / Павлова А.В. Математические основа теории систем. Лекции Часть 2.pdf

Скачиваний:

281

Добавлен:

02.06.2015

Размер:

1.3 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1213 / 1813 14 15 16 17 18 > Следующая >>>

Значение a1 принадлежит интервалу, найденному в п. 5, поэтому для расчета координат точки х2 принимается a1 = 0,6 :

x12 = 2,568 + 0,71× 0,6 = 2,994 » 3;

x22 = 1,425 - 0,71× 0,6 = 0,999 » 1.

Вычисляются составляющие вектора градиента в точке х2:

ÑF (x2 )T = [- 4 × 3 +18 - 2 ×1;-2 × 3 - 2 ×1 +12]=[4; 4].

Направление вектора ÑF (x2 ) перпендикулярно направлению S1 , следовательно, найденная точка х2 = [3; 1] обеспечивает максимум функции F(x) с учетом ограничений на переменные: Fmax = 41.

В пакете MATLAB решение задач нелинейного программирования реализуется с помощью программ QP и СONSTR.

ТЕМА 6. МЕТОДЫ ЛИНЕАРИЗАЦИИ В РЕШЕНИИ ЗАДАЧ НЕЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ

Решение нелинейных задач может быть сведено к решению одной илине скольких линейных задач, порожденных исходной.

6.1. Метод линейных комбинаций

Метод линейных комбинаций ориентирован на решение задач, в которых функция цели нелинейная, а все ограничения линейны, т.е.

max{F (x) | Ax £ B, xi ³ 0, i = 1, n}.

(6.1)

Пусть функция F (x) и ее частные производные непрерывны. В основе метода лежит представление нелинейной функции F (x) общего вида в виде ряда Тейлора

до членов первого порядка в окрестности точкиxk , где xk – допустимая точка, полученная на k-й итерации. Это соответствует замене F (x) линейной функцией

~ в окрестности xk , т.е.

F (x)

~ » k + Ñ k T - k = k - Ñ k T k + Ñ k T

F (x) F (x ) F (x ) (x x ) F (x ) F (x ) x F (x ) x .

Выражение [F (xk ) - ÑF (xk )T xk ] , вычисленное в точке xk , есть некоторое чис-

ло. Поэтому для нахождения вектора x* , максимизирующего линеаризованную функ-

цию цели F (x) , нужно решать следующую задачу линейного программирования:

max{W	= ÑF (xk )T x \| Ax £ B, x	i	³ 0, i =	1, n	}.	(6.2)
k		i

Точка x*, соответствующая оптимальному решению линеаризованной задачи

(6.2), должна быть угловой, т. е. вершиной ОДЗП, а истинное решение x* исходной задачи (6.1) может лежать внутри ОДЗП. Поэтому необходима дополнитель-

ная корректировка

)

>Wk (x

) ,

. Точка x

должна удовлетворять условию Wk (x

но это не гарантирует, что

)

> F(x

). Однако на отрезке (x

) должна суще-

F(x

, x

ствовать такая точка xk +1 ,

что F (xk +1) > F (xk ) . Координаты этой точки являются

линейной комбинацией координат точек x

и определяются выражением

k+1

= (1-a) x

+ax

= x

+a(x

- x

), 0 £ a £ 1.

(6.3)

По аналогии

методами, рассмотренными

- x

) задает

ранее, вектор (x

направление поиска, а параметр a – величину шага в этом направлении. Величина

a определяется из условия достижения максимума F[x	k	~*	- x	k	)] путем реше-
		+ a(x

ния уравнения ¶F = 0 или применением одного из методов одномерного поиска.

¶a

Поскольку величина ÑF (xk +1) в общем случае не равна нулю, полученная

точка xk +1 служит точкой линеаризации для построения следующей аппроксимации. Решение продолжается до тех пор, пока последовательные оптимумы не окажутся достаточно близкими, т.е. поиск прекращается при выполнении условия

xk +1 - xk

£ e,

xk +1

где e – точность решения задачи.

Вычислительная схема метода известна как алгоритм Франка-Вульфа:

1-й шаг. Задать x0 и точность решения ε, определить составляющие вектора

ÑF (x) .

2-й шаг. Вычислить ÑF (xk ) , где xk – допустимая точка, полученная на k-й

итерации (k = 0,1,2,...). Если ÑF (xk ) < e , прекратить вычисления, в противном случае перейти к 3-му шагу.

3-й шаг. Решить задачу линейного программирования:

max{Wk

= ÑF (x

)

Ax £ B, xi

³ 0,i =1, n}. Пусть

– оптимальное

решение

этой задачи.

4-й шаг. Найти a

доставляющее максимум функции F[x

- x

)] при

+ a(x

0 £ a £1.

5-й шаг. Вычислить x

k +1

= x

+ a

- x

) и проверить близость к решению.

Если

xk +1 - xk

или

F (xk +1) - F (xk )

< e,

то прекратить вычис-ления.

Иначе

£ e

xk +1

F (xk +1)

перейти к 2-му шагу, полагая k = k +1.

Пример 6.1.

Найти минимальное значение функции F(x) = (x -2)2

+(x -2)2

при ограничениях

+ x

3; 10x

- x

³ 2;

³ 0 . Начальная точка x0 = [1; 0,5].

1,2

Первая итерация.

Вычисляется

ÑF

(x)T

= é

¶F

¶F ù

= [2x - 4; 2x

- 4]

и осуществляется линеа-

¶x

ризация F (x) относительно точки x0

в соответствии с выражением

= ÑF (x0 )T x

= [- 2

- 3]éx1 ù = -2x - 3x

ëx2 û

Решается задача ЛП:

min{-2x1 - 3x2

x1 + x2 £ 3; 10x1 - x2 ³ 2; x1,2 ³ 0}.

Процедура решения задачи иллюстрируется последовательностью симплекс-

таблиц 6.1 – 6.3

		Т а б л и ц а 6.1						Т а б л и ц а 6.2				Т а б л и ц а 6.3

БП	Св.чл			НП		БП	Свчл		НП		БП	Св.	чл	НП
БП	Св.чл			НП		БП	Свчл		НП		БП	Св.	чл	НП
			x1		x2			x4		x2			x4		x3
x3	3		1		1	x3	2,8	0,1		1,1	x2	2,55	0,09		0,91

x4	-2		-10		1	x1	0,2	-0,1		-0,1	x1	0,45	0,01		0,09

W0	0		-2		-3	W0	0,4	0,4		-3,2	W0	8,55	0,09		2,91

~0*

Табл.

6.3

соответствует

оптимальному

решению

линеаризованной

задачи

= [0,45; 2,55] , W0 min = -8,55 .

производится

корректировка

найденного

решения в соответствии с выражением

~0*

éx1

é 1

é 0,45 -1

é 1- 0,55a0

x = x

+ a

- x

) или

= ê

+ a

= ê

ú .

ëx12 û

ë0,5û

ë2,55 - 0,5û

ë0,5 + 2,05a0

Осуществляется минимизация F (x)

по параметру a0 . Подставляя x1

или x1

в функцию цели, получим

F (a0 ) = (1 - 0,55 a0 - 2)2 + (0,5 + 2,05 a0 - 2)2 = 3,9(a0 )2 - 7,25 a0 +1,25 .

Тогда

¶F

= 7,8a0 - 7,25 = 0 и a0 = 0,93 .

¶a0

Находим координаты точки x1 и значение F (x1 ) :

=1 - 0,55 × 0,93 = 0,49;

x1 = 0,5 + 2,05 × 0,93 = 2,41.

F (x1) = (0,49 - 2)2 + (2,41 - 2)2 = 2,45 .

Графическая интерпретация процедуры решения приведена на рис. 6.1.

	x2	F1<F2<F3<F4
	3	F4
	3	F3
	~0*	F3
	~0*
	x	F2
	B	F2

~1*

3 C

Рис. 6.1. Графическая интерпретация процедуры решения примера 6.1

Здесь линии уровня функции цели F (x) представлены концентрическими

окружностями	с	центром в		точке[2, 2].	Начальная точка x0		лежит		внутри
ОДЗП, которая	представлена			треугольником АВС. Решению		~0*		= [0,45; 2,55]
						x
линеаризованной задачи соответствует вершина В этого треугольника,									а скор-
ректированному решению x1 = [0,49; 2,41]					– точка, лежащая на прямой,				соеди-
~0*		0	.
няющей точки x		и х

Вторая итерация.

Вычисляется ÑF (x1)T = [-3,02; 0,82]

и осуществляется

линеаризацияF (x)

относительно найденной точки x1 :

= ÑF (x1 )T x =

[- 3,02

0,82]

é x1

= -3,02x

0,82x

ëx2

Решается задача ЛП с функцией цели W1 и исходными ограничениями задачи

min{-3,02x1 + 0,82x2

x1 + x2 £ 3; 10x1 - x2 ³ 2; x1,2 ³ 0}.

Процедура решения иллюстрируется симплекс-таблицами 6.4 – 6.6.

Т а б л и ц а 6.4

Т а б л и ц а 6.5

Т а б л и ц а 6.6

БП

Св.чл

НП

БП

Св.чл

НП

БП

Св.чл

НП

2,8

0,1

1,1

0,28

0,11

-2

-10

0,2

-0,1

-3,02

0,82

0,6

-0,302

0,52

9,06

3,02

3,82

~1*

Оптимальному

решению

соответствует

табл. 6.6,

из

которой

находим, что

= [3, 0] (вершина С на рис. 6.1) и W1min = -9,06 .

~1*

Скорректируем найденное решение, определяя x

= x + a

- x ) или

éx2

é0,49ù

é3 - 0,49ù

é0,49 + 2,51 a1 ù

ê 1

= ê

+ a1 ê

= ê

ú .

ëx22

ë2,41û

ë0

2,41û

ë2,41- 2,41 a1

Подставим эти значения в функцию F (x) и осуществим ее минимизацию по параметру a1 :

F (a1) = (0,49 + 2,51a1 - 2)2 + (2,41 - 2,41a1 - 2)2 =12,11(a1)2 - 9,56a1 + 2,45.

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1213 / 1813 14 15 16 17 18 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке Лекции