Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Вятский государственный университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Учебное пособие по математике Махнев А.С..pdf

Скачиваний:

1532

Добавлен:

02.06.2015

Размер:

689.67 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78 / 168 9 10 11 12 13 14 15 16 > Следующая >>>

			F
			D
		Y	P
B	Y	Y
	Y

w			Click
w
		w
			w.
			A

r	ansf
T	ansf
			or
			m
				e
			buy	r
			buy	0
				2
		to		.
here		to
here
				m
			o
			.c	&
BBYY				&
BBYY

Глава 2. Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии. Комплексные числа

					F Tran			sf
				D				sf
		Y	P						or	e
B	Y								m
	Y							buy		r
										2
										0
							to			.
						here	to
				Click		here
w				Click						m
w										m
		w		w.					o
				w.				.
					A B BYY				c
					A B BYY

Теоретические вопросы

1.Векторы и линейные действия над ними.

2.Скалярное и векторное произведения двух векторов и их свойства.

3.Смешанное произведение трех векторов и его свойства.

4.Плоскость.

5.Прямая в пространстве.

6.Прямая на плоскости.

7.Линии второго порядка.

8.Полярные координаты.

9.Комплексные числа.

4	Литература
1.	Ильин В. А., Позняк Э. Г. Линейная алгебра: Учеб. для вузов.-5-е
	изд., стер. - М.: Физматлит, 2002. – 317 с.

2.Беклемишев Д. В. Курс линейной алгебры и аналитической геометрии: - М.: Физматлит, 2003. – 303 с.

3.Клетеник Д. В. Сборник задач по аналитической геометрии: Учеб.

пособие для втузов / ред. Ефимов Н. В. – 17-е изд., стер. – СПб:

Профессия, 2001. – 199 с.

4.Привалов И. И. Аналитическая геометрия: Учеб. – 33-е изд., стер. –

СПб; М.: Лань, 2004. – 299 с.

5.Письменный Д.Т. Конспект лекций по высшей математике: Полн.

курс.-2-е изд.-М.: Айрис-пресс, 2004.-603 с.

6.Бугров Я.С., Никольский С.М. Высшая математика: Учеб.для

вузов:в 3т.-5-е изд.,стер.-М.:Дрофа.- (Высшее образование.

Современный учебник). т.1. Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии.-2003.-284 с.

					F Tran			sf
				D				sf
		Y	P						or	e
B	Y								m
	Y							buy		r
										2
										0
							to			.
						here	to
				Click		here
w				Click						m
w										m
		w		w.					o
				w.				.
					A BBYY				c
					A BBYY

				F Tran			sf
				D			sf
			Y	P			or
			Y					e
	B	Y						m
B		Y					buy	r
								2
								0
A						to		.
								.
					here
				Click	here
				Click

w w

7.Данко П.Е. и др. Высшая математика в упражнениях и задачах (с

решениями): в 2 ч./ Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я.-6-е

изд..-М.: ОНИКС 21 век, ч.2. -2002.-416 с.

8.Черненко В.Д. Высшая математика в примерах и задачах: учеб.

пособие в 3 т.-СПб: Политехника. т.1. -2003.-704 с.

	m
o
.c
BYY

1.Элементы векторной алгебры и аналитической

Любой вектор

геометрии в пространстве

в декартовой системе координат может быть

представлен в виде

+ ay ×

, .

= ax ×i&

+ az × k

где ax , ay , az - координаты вектора

, i

, j, k - орты координатных осей.

Вектор

с началом в точке A(x1 , y1 , z1 )

и концом в точке

В(x2 , y

2 , z2 ) имеет вид:

АВ = (x2 - x1 ) ×i + ( y2 - y1 ) × j + (z2 - z1 ) × k

то есть

ax = x2 - x1 , a y

= y2

- y1 , az = z2 - z1 .

Длина отрезка

АВ называется длиной (модулем)

вектора,

обозначается

АВ

и вычисляется по формуле

ax2 + ay2 + az2

Сумма векторов

= ax i

+ a y j + az k и b = bxi + by j + bz k определяется

формулой

(ax + bx )i

+ (ay + by )

+ (az + bz )k

. .

Произведение вектора

= axi

+ ay j + az k на число a определяется

формулой

a ×

= (a × a x

+ (a × a y )

+ (a × a z )k

Скалярным произведением векторов

называется число, равное

произведению длин этих векторов на косинус угла между ними, т.е.

× cos(

Скалярное произведение

векторов

a = axi + ay

j + az

= bxi

+ by j + bz k

вычисляется по формуле:

a ×b = axbx +23ayby + azbz .

			F
			D
		Y	P
B	Y	Y
	Y

w			Click
w
		w
			w.
			A

r	ansf
T	ansf
			or
			m
				e
			buy	r
			buy		0
					2
		to			.
here		to
here
				m
			o
			.c
BBYY
O

Векторным произведением векторов a и b называется вектор,

обозначаемый a ´b и удовлетворяющий следующим условиям:

1)длина вектора a ´b равна площади параллелограмма, построенного векторах a и b , т.е. a ´ b = a × b ×sin (a Ù b );

2)вектор a ´b перпендикулярен векторам a и b ;

					F Tran			sf
				D				sf
		Y	P						or	e
B	Y								m
	Y							buy		r
										2
										0
							to			.
						here	to
				Click		here
w				Click						m
w										m
		w		w.					o
				w.				.
					A B BYY				c
					A B BYY

на

3) векторы a, b , a ´b образуют правую тройку, то есть они ориентированы по отношению друг к другу соответственно как орты i , j, k .

Модуль векторного произведения векторов a и b численно равен площади параллелограмма, построенного на этих векторах:

a ´b = Sa,b .

Векторное произведение векторов a = axi + ay j + az k и b = bxi + by j + bz k

вычисляется по формуле:

bx.

Смешанным произведением векторов a, b , c называется скалярное

произведение вектора a ´b на вектор c , то есть (a ´b )×c .

Модуль смешанного произведения векторов

численно равен

объему параллелепипеда, построенного на этих векторах:

) ×

= V

(

Пусть

= ax i

+ a y j + az k , b = bx i + by j + bz k ,

= cx i + cy

j + cz k . Тогда

(

)×

			F
			D
		Y	P
B	Y	Y
	Y

w			Click
w
		w
			w.
			A

r	ansf
T	ansf
			or
				m
				e
			buy	r
			buy	0
				2
		to		.
here		to
here

O
	m
o
.c
BBYY

F Tran

buy

here

Click

Уравнение любой плоскости может быть записано в виде:

w. .

A B BYY

где A2 + B2 + C 2 ¹ 0 .

Ax + By + Cz + D = 0, .

Вектор N = Ai + Bj + Ck , перпендикулярный плоскости, называется

нормальным вектором плоскости.

Уравнение плоскости, проходящей через точку M 0 (x0 , y0 , z0 ) и

перпендикулярной вектору N = Ai + Bj + Ck , имеет вид

A(x - x0 )+ B(y - y0 )+ C(z - z0 )= 0.

Угол между плоскостями A1x + B1 y + C1 z + D1 = 0 и A2 x + B2 y + C2 z + D2 = 0

определяется следующим образом:

сosj =		A1 A2 + B1B2			+ C1C2				.	.
	A2	+ B2	+ C 2	×	A2	+ B	2	+ C 2

1		1	1		2	2		2

Расстояние от точки M 0 (x0 , y0 , z0 ) до плоскости, определяемой

уравнением Ax + By + Cz + D = 0 , находится по формуле

d =

Ax0 + By0 + Cz0 + D

A2 + B2 + C 2

Прямая в пространстве может быть задана уравнениями двух

плоскостей

A x + B y + C z

+ D

= 0

îA2 x + B2 y + C2 z + D2 = 0

пересекающихся по этой прямой, или каноническими уравнениями прямой

x - x 0 = y - ,y 0 = z - z 0
m	n	p

которые определяют прямую, проходящую через точку M 0 (x0 , y0 , z0 ) и

параллельную вектору l = m ×i + n × j + p × k . Вектор l называется

направляющим вектором прямой.

						F Tran			sf
					D				sf
			Y	P						or	e
	B	Y								m
B		Y							buy		r
											2
											0
A								to			.
											.
							here
					Click		here
	w				Click			O
	w										m
			w		w.					o
					w.				.
						A BBYY				c
						A BBYY

F Tran

buy

here

Click

Уравнения прямой, проходящей через две точки M1 (x1, y1, z1 ) и

w. .

A B BYY

M 2 (x2 , y2 , z2 ), имеют вид:

x - x 1

y - y 1

z - z 1

x 2 - x 1

y.2 - y 1

z.2 - z 1

Угол между двумя прямыми

x - x1

y - y1

z - z1

x - x2

y - y2

z - z2

определяется следующим образом:

m1 m2

+ n1n2 + p1 p2

сosj =

+ n2

+ p2 ×

m2 + n2 + p2

Угол между прямой

x - x0

y - y0

z - z0

и плоскостью

Ax + By + Cz + D = 0 определяется следующим образом:

sin j =

Am + Bn + Cp

A2 + B2 + C 2 × m2 + n2 + p2

Если точка M (x, y, z )

делит отрезок АВ, где A(x1, y1 , z1 ), B(x2 , y2 , z2 ), в

отношении

, то координаты точки М определяются по

l = AM : MB

формулам:

x =

x1 + lx2

, y =

y1 + ly2

, z =

z1 + lz2 (l ¹ -1) .

1 + l

1+ l

Задание 1. Даны координаты вершин пирамиды A1 A2 A3 A4 :

A1 (3,5,3), A2 (- 2,11,-5),

A3 (1,-1,4),

A4 (0,6,4). Найти: 1) длину ребра A1 A2 ; 2) угол

между ребрами

A1 A2

и A1 A4 ; 3) угол между ребром

A1 A4

и гранью A1 A2 A3 ; 4)

площадь грани

A1 A2 A3 ; 5) объем пирамиды; 6) уравнения прямой A1 A2 ; 7)

уравнение плоскости A1 A2 A3 ; 8) уравнение высоты, опущенной из вершины

A4 на грань A1 A2 A3 . Сделать чертеж.

					F Tran			sf
				D				sf
		Y	P						or	e
B	Y								m
	Y							buy		r
										2
										0
							to			.
						here	to
				Click		here
w				Click						m
w										m
		w		w.					o
				w.				.
					A BBYY				c
					A BBYY

F Tran

buy

here

Click

Решение. 1) Для определения длины ребра A1 A2

найдем координаты

w. .

A B BYY

вектора

+ 6 ×

= (- 5,6,-8). Тогда длина ребра A1 A2 будет

A1 A2

= -5 ×i

- 8 × k

равна длине вектора

A1 A2

= 5

(- 5 2) + 62 + (- 8 2)

А1 А2

125

2) Найдем угол между ребрами A1 A2 и A1 A4 . Для этого, как и раньше, найдем

координаты вектора

, определяющего ребро A1 A4 . Получим

= (- 3,1,1)

A1 A4

(- 3 2)+12 +12

A1 A4

Тогда угол между ребрами A1 A2 и A1 A4

можно найти из определения

скалярного произведения двух векторов:

_____ _____

(-5 )× -(3 +)6 ×1

+ (-8 )×1

____ ____

A1A2 × A1 A4

cosj = cos( A1 A2 Ù A1 A4 )

5 55

A1 A2

A1 A4

5 5 × 11

Следовательно, j = arccos

3) Чтобы найти угол между ребром A1 A4 и гранью A1 A2 A3 , определим

нормальный вектор N плоскости A1 A2 A3 . Из определения векторного произведения двух векторов имеем:

___

____

N = A1 A2 ´ A1 A3 =

x2 - x1

y2 - y1

z2 - z1

- 5 6 -8

= -42 i + 21 j + 42 k ,

x3 - x1

y3 - y1

z3 - z1

- 2 - 6 1

___

(- 42,21,42) и

(- 42)2 + 212 + 422

т.е. N =

= 63 . Тогда

æ ___

____

(- 3)× (- 42)+1× 21 +1× 42

189

, y = arccos

cosy = cosç N Ù A1 A4

11 ×63

11 × 63

Так как нормальный вектор N перпендикулярен плоскости A1 A2 A3 , то угол


между ребром A A и гранью A A A																			определяется как A A Ù A A A =							p	-y	.
между ребром A A и гранью A A A																			определяется как A A Ù A A A =								-y	.
								1		4					1		2	3	1			4	1	2	3	2
4) Площадь грани A1 A2 A3															можем найти по формуле
S =	1	×			´				=	1	×		=	63		. Следовательно, S =				63	кв. ед.
	1		A A			A A				1		N		63						63
			A A			A A						N
2			1	2	1		3			2					2				2
2										2					2				2

					F Tran			sf
				D				sf
		Y	P						or	e
B	Y								m
	Y							buy		r
										2
										0
							to			.
						here	to
				Click		here
w				Click						m
w										m
		w		w.					o
				w.				.
					A BBYY				c
					A BBYY

5) Объем пирамиды, построенной на векторах, равен 1/6 объема параллелепипеда, построенного на этих же векторах. Для определения объема параллелепипеда воспользуемся свойством смешанного произведения векторов. В результате имеем:

					F Tran			sf
				D				sf
		Y	P						or	e
B	Y								m
	Y							buy		r
										2
										0
							to			.
						here	to
				Click		here
w				Click						m
w										m
		w		w.					o
				w.				.
					A B BYY				c
					A B BYY

æ ____

____

x2 - x1

y2 - y1

z2 - z1

- 5

- 8

Vпир.

Vпар.

ç A1 A2

´ A1 A3

× A1 A4

- x1

- y1

- z1

- 2

- 6

- x1

- y1

- z1

- 3

Так

30 -18 +16 +144 +12 + 5

189

им образом, V = 63 куб.ед.

6) Составим уравнения прямой A1 A2 . Для этого воспользуемся уравнениями прямой, проходящей через две заданные точки A1 и A2 :

x - x1

y - y1

z - z1

- x

- y

- z

Получаем:

x - 3

y - 5

z - 3

- 5

- 8

7) Уравнение плоскости A1 A2 A3

можно найти по

___

A1 (x1 , y1, z1 ).

формуле: A(x - x1 )+ B(y - y1 )+ C(z - z1 )= 0 , где N =(A, B, C ),

Следовательно, уравнение плоскости A1 A2 A3 имеет вид:

- 42 ×(x - 3)+ 21× (y - 5)+ 42(z - 3)= 0 или после упрощения

2x - y - 2z + 5 = 0 .

8) Чтобы составить уравнение высоты hA

, опущенной из вершины A4 на

грань A1 A2 A3 , воспользуемся формулой:

x - x4

y - y4

z - z4

где A4 (x4 , y4 , z4 ), l (m, n, p)- направляющий вектор высоты hA4 пирамиды

A1 A2 A3 A4 . Так как вектор l перпендикулярен грани A1 A2 A3 , то в качестве

__ ___

l можно взять вектор N - нормальный вектор плоскости A1 A2 A3 .

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78 / 168 9 10 11 12 13 14 15 16 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
14.08.20191.61 Mб52Учебное пособие - Взаимосвязь обмена веществ.doc
#
14.08.2019815.1 Кб8Учебное пособие - Ди-, полисахариды.doc
#
14.08.2019661.5 Кб11Учебное пособие - Моносахариды.doc
#
29.08.2019311.81 Кб2учебное пособие 150414.doc
#
29.08.2019670.21 Кб7УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ ИГА молоко.doc
#
02.06.2015689.67 Кб1532Учебное пособие по математике Махнев А.С..pdf
#
02.06.20152.35 Mб109учебное пособие по экономической теории.pdf
#
02.06.20152.02 Mб87Учебное пособие. Обуч. тесты Макро.doc
#
02.06.2015117.89 Кб72Учение Платона об идеальном государстве.pdf
#
09.12.2018330.75 Кб62Ученые паразитологи .doc
#
12.11.2019517.12 Кб5Файлы.doc