ГЛАВА 2 Расчёт переходных процессов операторным методом

11

Подробные таблицы изображений функций приведены в [1,4,13]. Рассмотрим без вывода два важных свойства преобразования Лапласа.

1. Теорема дифференцирования. Изображение первой производной функции равно изображению функции, умноженному на p , минус значение функции при

t = 0.

2.2. Изображения по Лапласу напряжений на резисторе, индуктивности и ёмкости

Рис. 2.1

12

В цепи на рис. 2.1 а мгновенные напряжение и ток связаны законом Ома uR = RiR ,

uC = C1 ∫iC dt .

В этой формуле не указаны пределы интегрирования. Если учесть, что до коммутации ёмкость была заряжена до напряжения uC (0−), то мгновенное

напряжение на ёмкости в момент времени t примет вид

uC = uC (0−) + 1 ∫t iC dt . C 0

13

В соответствии с формулами (2.2) и (2.12):

В итоге получим изображение для напряжения на ёмкости и операторную схему замещения (рис. 2.2 в).

выбранному направлению тока IC ( p).

2.3. Законы Ома и Кирхгофа в операторной форме

На рис. 2.3 изображена ветвь разветвлённой электрической цепи, в которой происходит коммутация.

приложенного к концам ветви ab , и согласованное с ним направление тока i . Положим также, что к моменту коммутации в ветви протекал ток i(0−), а

начальное напряжение на ёмкости равнялось uC (0−). Переходя к изображениям

(2.13), (2.15), (2.16) и используя схемы (рис. 2.2), составим операторную схему замещения для ветви ab (рис. 2.4).

14

Закон Ома применяется для отдельной ветви, а также для одноконтурной замкнутой цепи, не имеющей разветвлений.

Законы Кирхгофа в операторной форме используются для расчёта переходных процессов в разветвлённых электрических цепях, содержащих две и более ЭДС (внутренних и внешних) в разных ветвях цепи.

Прежде всего для цепи составляют операторную схему замещения, на которой задают направления токов в ветвях и направления обхода контуров.

П е р в ы й з а к о н К и р х г о ф а. Алгебраическая сумма изображений токов, сходящихся в любом узле разветвлённой цепи, равна нулю.

15

n

I1( p) + I2 ( p) +L+ In ( p) = ∑Ik ( p) = 0. (2.20)

k =1

Токи, направленные к узлу, будем условно считать положительными, а токи, направленные от узла, – отрицательными.

В т о р о й з а к о н К и р х г о ф а. В любом замкнутом контуре разветвлённой электрической цепи алгебраическая сумма изображений напряжений равна алгебраической сумме изображений ЭДС.

Знаки слагаемых в выражении (2.21) положительные, если направления токов и ЭДС в ветвях совпадают с направлением обхода контура, и отрицательные, если не совпадают.

Для расчёта переходных процессов операторным методом можно использовать любые методы расчёта цепей постоянного тока, вытекающие из уравнений Кирхгофа (контурных токов, узловых потенциалов, эквивалентного генератора, наложения), предварительно составив для заданной цепи операторную схему замещения. Выбор метода расчёта, как известно, зависит от конфигурации цепи и имеет целью уменьшить объём вычислений.

2.4. Порядок расчёта переходных процессов операторным методом. Переход от изображений к оригиналам

Расчёт операторным методом ведётся в следующей последовательности: 2.1. В исходной цепи до коммутации определяются независимые

начальные условия: iL (0−) и uC (0−).

2.1.Составляется операторная схема замещения цепи после коммутации,

операторными схемами с внутренними ЭДС (рис. 2.2 а, б). Ключ на схеме не показывают.

2.1. Определяются изображения искомых токов и напряжений любым, подходящим для составленной схемы методом расчёта цепей постоянного тока.

2.1. Осуществляется обратный переход от изображений к оригиналам (функциям времени) либо с помощью таблиц изображений функций (формул соответствия), например (2.2)–(2.9), либо с использованием теоремы разложения.

Т е о р е м а р а з л о ж е н и я. Если изображение тока (или напряжения) имеет вид рациональной дроби

16

уравнением цепи, а наличие нулевого корня в выражении (2.23) свидетельствует о том, что оригинал – переходный ток (напряжение) содержит принуждённую

составляющую, равную F1(0) .

F2 (0)

Если уравнение F2 ( p) = 0 содержит комплексно-сопряжённые корни pk и pk , то достаточно определить слагаемое сумм в формулах (2.24) или (2.25)

только для одного корня pk , а для корня pk взять значение, сопряжённое этому слагаемому. Тогда сумма этих слагаемых будет равна удвоенному значению вещественной части, найденной для корня pk .

Когда среди корней уравнения F2 ( p) = 0 есть несколько одинаковых

(кратных) корней, формула разложения усложняется. В этом случае рекомендуется пользоваться таблицами изображений функций по Лапласу. В

частности, если уравнение F2 ( p) = 0 в (2.25) имеет два равных корня p1,2 = −β , то определить оригинал можно по формуле (2.9).

В большинстве практических задач использование формул разложения (2.24), (2.25) является основным способом перехода от изображений к оригиналам.

17

В тех случаях, когда требуется найти только начальное и установившееся значения тока, т.е. i(0+) и i(∞) , то, не прибегая к вычислениям по формулам (2.24), (2.25), можно использовать следующие предельные соотношения:

Формулы (2.26) и (2.27) позволяют просто определить i(0+) и i(∞) , если

установившийся процесс непериодический, и могут быть использованы также для контроля за правильностью вычислений на стадии получения изображений.

2.5. Применение операторного метода к исследованию электрических цепей

На основе изложенного в §§ 2.1 – 2.3 можно сделать вывод, что использование преобразования Лапласа позволяет упростить исходные функции времени, и особенно операции дифференцирования и интегрирования. В результате решение интегро-дифференциальных уравнений относительно оригиналов сводится к решению алгебраических уравнений относительно их изображений.

Отметим аналогию между операторным методом и комплексным методом расчёта цепей синусоидального тока. В обоих случаях операции над функциями времени заменяются операциями над их символами (либо изображениями по Лапласу, либо комплексными числами). Законы Ома, Кирхгофа в операторной форме (2.18), (2.19), (2.21), (2.22) аналогичны по форме записи тем же законам в комплексной форме, а операторное сопротивление цепи Z ( p) совпадает с

комплексным Z при замене p на jω.

Если сравнивать классический и операторный методы, то следует заметить, что первый позволяет проще интерпретировать переходный процесс с физической точки зрения, тогда как операторный, подобно другим символическим методам, является сугубо формальным.

Как показывает опыт, расчёт переходных процессов в цепях первого и второго порядка классическим методом, как правило, проще, чем операторным. В цепях более высокого порядка из-за трудностей, возникающих при нахождении постоянных интегрирования в классическом методе, более рациональным является операторный метод. Последний широко применяется также в том случае, когда к цепи приложена внешняя ЭДС сложной формы (отличной от постоянной и синусоидальной), так как упрощается определение принуждённой составляющей переходного тока (напряжения).