9
1.2. Теория деформаций
Рассмотрим элементарный объем (параллелепипед) упругого тела, вырезанный около точки А, который деформируется из-за различий перемещений его точек. При этом будут меняться длины ребер параллелепипеда и углы между ними. Составляющие вектора полного перемещения по осям x, y и z обозначаются соответственно u, v и w.
Рассмотрим два ребра АВ и АС (рис. 1.4).
Длина проекции ребра АВ на ось Ox после деформации будет равна:
* |
** |
|
∂ u |
∂ u |
|
||
A B |
|
=dx+ (u+ |
|
dx)−u=dx+ |
|
dx. |
(1.11) |
|
∂ x |
∂ x |
|||||
Проекция абсолютного удлинения ребра АВ равна:
|
* |
** |
|
|
∂u |
|
|
AB=A B |
|
−AB= |
∂x dx. |
(1.12) |
|
y |
u+ ∂ u dy |
|
|
|
||
|
|
|
|
|||
|
∂ y |
|
|
|
|
|
dy |
C** |
|
C* |
|
|
|
v y |
γ2 |
|
|
|
|
|
∂ ∂ |
|
|
|
|
|
|
v+ |
|
|
|
|
B* |
|
|
C |
|
|
|
|
|
|
|
|
γ1 |
|
dx |
|
|
A* |
|
|
B** |
||
dy |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
∂v ∂x |
||
v |
A |
|
B |
|
|
+ |
|
|
|
|
v |
||
|
u |
|
u+ |
∂ u dx |
|
|
|
dx |
|
|
∂ x |
|
|
O |
|
|
|
|
|
x |
Рис. 1.4. Перемещения точек элементарного объема при деформации
Относительное удлинение ребра АВ вдоль оси Ox равно:
εx= |
AB |
= |
∂u |
. |
(1.13) |
AB |
|
||||
|
|
∂ x |
|
||
Аналогичные действия можно проделать и для других ребер. В результате получим, что в проекциях на координатные оси компоненты линейной деформации определяются соотношениями:
ε |
= |
∂ u |
;ε |
= |
∂ v |
;ε |
= |
∂w |
. |
(1.14) |
∂ x |
∂ y |
|
||||||||
x |
|
y |
|
z |
|
∂ z |
|
|||
Теперь определим компоненты угловой деформации. Для этого найдем величину угла γ1 между отрезками A* B** и B*B** на рис. 1.4.
10
tg γ |
= |
B* B** |
=(v+ ∂∂ vx dx)−v |
, |
||||||||||||
A* B** |
||||||||||||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
∂ u |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
dx+ |
|
|
dx |
|
|||||
|
|
|
|
|
∂ x |
|
||||||||||
|
|
|
|
∂v |
dx |
|
∂v |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
∂ x |
|
|||||||||
|
|
|
|
∂ x |
|
|
||||||||||
tg γ1= |
|
|
|
= |
|
. |
|
|||||||||
dx(1+ |
∂u |
) |
(1+ εx) |
|
||||||||||||
|
|
|
∂ x |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
(1.15а)
(1.15б)
В теории упругости принимается, что деформации тел малы, т.е., напри-
мер, относительные линейные деформации много меньше единицы (εx 1). Угловые деформации также невелики (tg γ1≈γ1). Учитывая это, получим:
γ1=∂∂vx . Аналогично: γ2= ∂∂ uy .
Угловая деформация – это искажение прямого угла. Поэтому в данном случае угловая деформация будет равна: γxy=γ1+ γ2. Отсюда компоненты угло-
вой деформации будут определяться соотношениями:
γ |
xy |
= |
∂v |
+ |
∂u |
; γ |
xz |
= |
∂ w |
+ |
∂u |
; γ |
yz |
= |
∂w |
+ |
∂ v |
. |
(1.16) |
∂ x |
∂ y |
∂ x |
|
∂ y |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
∂ z |
|
|
∂ z |
|
|||||||||
Зависимости (1.14) и (1.16) называются ф о р м у л а м и |
К о ш и . Они |
||||||||||||||||||
связывают шесть компонентов вектора деформаций εx, εy, εz, γxy, γxz, γyz и три компонента вектора перемещений u, v, w. Однако компоненты вектора деформаций не являются независимыми друг от друга переменными и должны быть связаны между собой некоторыми соотношениями. Эти соотношения были получены Сен-Венаном и называются у р а в н е н и я м и с о в м е с т н о с т и д е ф о р м а ц и й . Они выводятся из уравнений Коши путем исключения перемещений u, v, w:
|
∂2 εx |
+ |
∂2 εy |
= |
|
∂2 γxy |
; |
|||||
|
∂ y2 |
|
|
|
∂ x2 |
|
|
|
∂ x ∂ y |
|
||
|
∂2 εy + |
|
∂2 εz = |
|
∂2 γyz |
; |
||||||
|
∂ z2 |
|
|
|
∂ y2 |
|
|
|
∂ y ∂ z |
|
|
|
|
∂2 εz |
+ |
|
∂2 εx |
= |
|
∂2 γxz |
; |
||||
|
∂ x2 |
|
∂ z2 |
|
∂ x ∂ z |
|
||||||
|
∂ |
(− |
∂ γyz |
+ |
|
∂ γxz |
+ |
|
∂ γxy |
)=2 |
∂2 εx |
|
|
; |
||||||||||||||
∂ x |
∂ x |
|
|
|
∂ y |
|
|
|
∂ z |
|
|
∂ y ∂ z |
||||||||||||||||
|
∂ ∂ γyz |
|
|
|
|
∂ γxz |
|
|
|
|
∂ γxy |
|
|
|
|
|
∂2 εy |
|
|
(1.17) |
||||||||
|
|
|
( |
|
|
|
− |
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
)=2 |
|
|
; |
|
|||||||
|
∂ y |
|
∂ x |
|
|
|
∂ y |
|
|
|
∂ z |
|
∂ x ∂ z |
|
||||||||||||||
|
∂ |
( |
∂ γyz |
+ |
∂ γxz |
− |
∂ γxy |
)=2 |
|
|
∂2 εz |
|
. |
|
||||||||||||||
|
∂ z |
|
∂ x |
|
∂ y |
|
|
∂ z |
|
∂ x ∂ y |
|
|||||||||||||||||
1.3. Физические соотношения между напряжениями и деформациями
Рассмотренные выше теории напряжений и деформаций в отдельности не решают задачу теории упругости, т.к. между ними отсутствует связь. В каче-