Матрица гибкости является обратной матрице жесткости K=G−1. Поэто-

му при умножении уравнения (3.29) слева на G−1 и перегруппировке членов получим уравнение (3.26).

3.1.5. Уравнения колебаний упругой системы с бесконечным числом степеней свободы

Бесконечное число степеней свободы имеют расчетные схемы, построенные с использованием континуального подхода, при котором параметры распределены непрерывно.

Выше при решении задач статики рассматривались некоторые континуальные расчетные схемы (стержни, пластины, оболочки), для которых были получены соответствующие дифференциальные уравнения. Эти уравнения в общем случае можно представить в векторной форме:

p – вектор (вектор-столбец) распределенной внешней нагрузки, действующей на элемент системы;

L – линейный дифференциальный оператор в виде квадратной матрицы, размерность которой равна размерности векторов r и p.

Для решения задач динамики континуальных расчетных схем необходимо в дифференциальные уравнения статики в соответствии с принципом Д'Аламбера добавить силы инерции:

где m – удельная масса рассматриваемого элемента, отнесенная к единице длины, площади или объема.

При этом граничные условия остаются такими же, как и в задачах статики, но для решения задач динамики с помощью уравнений (3.31) дополнительно должны быть заданы начальные условия (в момент времени t=0): векторы

перемещений r и векторы скоростей для всех точек системы r˙ .

Приведем для примера дифференциальные уравнения поперечных колебаний стержня и пластины, которые получаются из соответствующих дифференциальных уравнений изгиба.