Глава 3. Нелинейное программирование

Y=36x₂-5x₁²+4x₁x₂-5x₂² → max

При ограничениях:

x₁+x₂ ≤ 2

x₁ ≤ 1/2

x_1,2 ≥ 0

3.1 Определение вида квадратичной формы

Представим квадратичную форму в виде симметрической матрицы, используя разложение по производным:

∂Y/∂x₁ = 0– 10x₁+4x₂ = 2(-5x₁+ 2x₂);

∂Y/∂x₂ = 36 + 4x₁ – 10x₂ = 2(18 +2x₁ – 5x₂);

Y = (0 + 0x₁ + 18x₂)*1 +

(0 – 5x₁ + 2x₂)*x₁ +

(18 +2x₁ – 5x₂)*x₂

Матрица D, соответствующая квадратичной форме, имеет вид:

1) Критерий Сильвестра.

Определим миноры:

_D1=-5

В ряду 1, D₁, D₂ (1; -5; 21) знаки чередуются, следовательно, квадратичная форма - отрицательно определенная.

2) Метод характеристических чисел.

ʎ_1,2=-5

Все корни отрицательные, следовательно, квадратичная форма целевой функции отрицательно определённая.

По результатам исследования квадратичной формы целевой функции можно сделать вывод, что для решения задачи может быть применён квадратичный метод Била.

3.2Квадратичный симплекс метод (метод Била)

Приведём систему ограничений к каноническому виду, добавив переменные х₃, х₄и выразим базисные переменные через небазисные:

x₃=2-x₁-x₂

x₄=1/2-x₁

Представим целевую функцию в виде симметрической матрицы:

Y = (0 + 0x₁ + 18x₂)*1 +

(0 – 5x₁ + 2x₂)*x₁ +

(0 + 2x₁ – 5x₂)*x₂

Итерация 1:

Занесём все данные в таблицу (Таблица 3.1). Верхняя часть таблицы представляет собой данные из ограничений, а нижняя часть – данные из симметрической матрицы.

Исходная

Таблица 3.2.1

	1	X1	X2*
X3*	2	-1	-1
X4	1/2	-1	0
X1	0	1	0
X2	0	0	1
1	0	0	18
X1	0	-5	2
X2	18	2	-5

Решение не оптимально, т.к. среди элементов первой строки нижней части таблицы, стоящие на пересечении с х-ми столбцами, положительны. Решение будет считаться оптимальным, когда данные элементы будут меньше либо равны нулю.

Выбираем направляющий столбец по положительному коэффициенту первой строки нижней таблицы – х₂. Находим элемент, который находится на пересечении выбранного столбца и главной диагонали нижней части таблицы. Поскольку этот элемент (-5) меньше нуля, будем выбирать разрешающую строку следующим образом: разрешающая строка будет та, у которой минимальное значение от деления коэффициентов первого столбца на соответствующие отрицательные коэффициенты (берутся по модулю) разрешающего столбца. Это будет строка х₃ верхней части таблицы. Получили разрешающий элемент: -1. Далее нужно построить промежуточную таблицу.

Т.к. направляющая строка находится в верхней части таблицы, то переменную, которой соответствует направляющий столбец, заменяем на переменную, которой соответствует разрещающая строка (x₃). Чтобы получить элементы столбца (x₃) промежуточной таблицы, элементы столбца x₂ предыдущей таблицы делят на разрешающий элемент. Элементы строки, соответствующие направляющей, равны 0, кроме элемента, соответствующего разрешающему, который равен 1 (получен при делении элементов направляющего столбца на разрешающий элемент).

Остальные элементы получают по формуле:

Промежуточная таблица:

Таблица 3.2.2

	1	X1	X3
X3	0	0	1
X4	1/2	-1	0
X1	0	1	0
X2	2	-1	-1
1	36	-18	-18
X1	4	-7	-2
X3	8	7	5

Т.к. первая направляющая строка находилась в верхней части таблицы, то вторая направляющая строка находится на пересечении направляющего столбца и главной диагонали нижней части таблицы. Элементы второй направляющей строки (х₂) находятся с помощью деления на разрешающий элемент. Название переменной меняем на x₃.

Чтобы получить h-ю строку нижней части окончательной таблицы, от элементов этой строки в промежуточной таблице вычитают элементы второй направляющей строки, умноженные на элемент исходной таблицы, находящийся на пересечении первой направляющей строки и h-го столбца.

Окончательная таблица:

Таблица 3.2.3

	1	X1	X3
X3	0	0	1
X4	1/2	-1	0
X1	0	1	0
X2	2	-1	-1
1	52	-4	-8
X1	-4	-14	-7
X3	-8	-7	-5

Решение оптимальное, т.к. на пересечении столбцов x₁, х₃ и строки свободных членов все элементы ≤ 0.

Ответ: Y = 52; X = ( 0; 2; 0; 1/2 )