Свойства функций и функционалов

Функции	Функционалы
1. Определение функции. Каждому значению из области определения соответствует значение функции. Например: ,	1. Определение функционала. Каждой функции из некоторого класса функций соответствует число . Ось абсцисс – функциональное пространство. В оптимальном управлении рассматриваются: а) непрерывные функции – они обозначаются . Если первая производная функции также непрерывна, то говорят о классе. В общем случае, класс– с непрерывнойn-ной производной. б) кусочно-непрерывные – функция имеет точки разрыва, в которых левый и правый предел не равны между собой. Например, возьмем две функции из :ии рассмотрим два функционала: и . Если, то графически:
2. Непрерывность функции. Приращением аргумента называется число . Если малому приращению аргумента соответствует малое приращение функции, то функция называется непрерывной. Если , то.	2. Непрерывность функционала. Приращение аргумента функционала есть разность функций, называемая вариацией аргумента. . В предыдущем примере: . Если малой вариации аргумента можно поставить в соответствие малую вариацию функционала, то говорят о непрерывном функционале, т.е. если , то для непрерывности должно выполняться условие:. Приращения по аргументам характеризуются степенями близости разного порядка. Если функции близки по ординатам, то это близость нулевого порядка. Если функции близки по ординатам и по первым производным, то это близость первого порядка и т.д.
3. Линейность функции. Функция линейна, если она обладает свойствами: а) аддитивности б) однородности	3. Линейность функционала. Тоже самое для функционалов, т.е. функционал линеен если: а) . б) . Интегральные функционалы являются линейными.
4. Приращение функции. Дифференциал функции есть главная линейная часть приращения функции, пропорциональная дифферен­циалу независимой перемен­ной. и	4. Приращение функционала. Дифференциал функционала (вариация функционала) есть главная линейная часть приращения функционала, пропорциональная дифференциалу аргумента.
5. Экстремум функции. В точке экстремума дифференциал функции	5. Экстремум функционала. В экстремуме функционала вариация функционала равна 0: .

Таким образом, в вариационном исчислении надо найти такие , которые обеспечивают функционалу вариацию.

Классическое вариационное исчисление Метод Эйлера для определения экстремальных функций без ограничений

Как и при поиске экстремума функций рассмотрим сначала случай, когда на функционал не накладывается никаких ограничений или уравнений связи, т.е. дан функционал и требуется найти функцию, доставляющую экстремум этому функционалу.

Пусть дан функционал

,

для которого требуется найти , которая будучи подставленной вдоставляет ему экстремальное значение.

Предположим, что мы уже нашли . Проварьируем эту функцию, варьируемая функция должна проходить черези.

Запишем вариацию функционала:

. (1)

Разложим в ряд Тейлора подынтегральную функцию в первом интеграле:

. (2)

Подставляя (2) в (1), получим вариацию функционала в виде:

.

Для исследования экстремума используется главная линейная часть. Интегрируя ее и учитывая условия равенства в экстремальной точке, получим уравнение, получившее название уравнения Эйлера.

.

Уравнение Эйлера является необходимым условием экстремума функционала.

Пример. Пусть дан функционал:

.

Найти для экстремальностипри граничных условиях,,.

Составляем уравнение Эйлера:

.

В операторной форме:

, ,

.

Для нахождения постоянных ирассматриваются граничные условия:

.

Задаваясь численными значениями можно получить аналитическое решение для, удовлетворяющее граничным условиям.

Рассмотрим важный случай, когда пределы интегрирования заданы от , т.е.

.

Мы уже получили требуемую функцию , минимизирующую функционал используя уравнение Эйлера:

Потребуем, чтобы процесс, задаваемый, был устойчивым, т.е. придолжна стремиться к 0. Тогдадолжен быть равен 0 и. Если при, то.

Как известно из теории дифференциальных уравнений (а также из курса ТАУ) такой же вид имеет решение дифференциального уравнения апериоди­ческого звена при.

Таким образом, данному квадратичному функционалу соответствует решение дифференциального уравнения 1-го порядка

, ,

икаждому решению данного уравнения будет соответствовать свой функционал.

Параметр Т, стоящий в подынтегральном выражении функционала, называется весовым коэффициентом, т.к. он задает различные виды функции. Графикипри различных значенияхдают поле экстремалей.

Следует также отметить, что если известна экстремальная функция , зависящая от параметра, т.е., то подставляя эту функцию в уравнение функционалаи интегрируя в пределахполучим зависимость. Таким образом можно свести вариационную задачу к задаче поиска экстремума функциипо параметру. Для решения этой задачи можно воспользоваться методами, рассмотренными ранее.