Управление непрерывными динамическими тп Поиск экстремума функционалов

Постановка задачи в общем виде.

Будем рассматривать динамические задачи оптимизации, когда объект управления описывается системой дифференциальных уравнений вида:

, (1)

где – вектор состояний системы,– вектор управлений. Для объекта (1) требуется найти такое управлениеили, переводящее объект из заранее заданной точкив конечную точку, так чтобы минимизировался критерий оптимальности, зависящий в общем случае от переменных системы и управлений:

. (2)

Поставленная задача встречается на нижних уровнях иерархии ТП – при управлении отдельными механизмами и агрегатами.

Пример объекта.Примером объекта (1) может служить электродвигатель постоянного тока с постоянным потоком возбуждения, на входе которого стоит инерционный усилитель. Тогда уравнение движения ЭД в относительных единицах можно записать в форме системы уравнений:

,

где – напряжение якорной цепи,– напряжение на входе усилителя,– скорость двигателя. В матричной форме:

,

где ,,.

Критерий оптимальности. В теории оптимальных процессов критерий оптимальности записывается в виде интегрального функционала:

,

где – время перехода, может быть задано или не задано заранее. Выбор критерия оптимальности является сложной проблемой и рассматривается в рамках теории принятия решений, исследования операций и т.д. В теории оптимальных процессов критерий оптимальности считаем постулатом, который выбирается из физических соображений. Главную роль здесь играет опыт, накопленный в данной области техники.

Приведем примеры критериев оптимальности, заданных в виде интегральных функционалов.

1. Задача быстродействия.

,

где – не задано, т.е. минимизируется время перехода изв.

2. Задачи с ограничением ресурсов (или на минимум ресурсов).

.

Здесь может быть задано или не задано, а функционал количественно характеризует отклонения переменных и управления в системе. Например, если задан функционал

,

то будем иметь постановку задачи стабилизации, в которой требуется минимизировать отклонения фазовых переменных, а также управления на полубесконечном интервале времени.

Задача на минимум энергии, поступающей в систему (ЭП):

,

на минимум импульса энергии (ракетные системы):

.

Если сравнить задачу (1,2) с постановкой задач на поиск экстремума функций, то (1) – это уравнения связи, (2) – цепь управления. Кроме того, (1) характеризует ограничения, связывающие систему в единое целое, но это ограничение в форме равенства.

Задача поиска экстремума функционала относится в математике к разделу вариационного исчисления. Классическое вариационное исчисление не предусматривает ограничения на переменные и, их решение дано Эйлером вXVIIIвеке.

В последние 20-25 лет из-за потребностей приложения возникла необходимость в разработке неклассических задач, когда на инакладываются ограничения, что всегда наблюдается в технике. Эти задачи, однако, можно иногда решить и классическими методами вариационного исчисления, что часто и делается до сих пор. Но здесь следует помнить л разработке наших ученых Понтрягина Л.С., Мищенко Е.Ф, Болтянского и др. – аппарата, получившего название «Принцип максимума», который значительно быстрее приводит к цели.

Рассмотрим математические основы решения задач оптимизации. Прежде чем приступать к изучению вариационного исчисления, рассмотрим свойства функционалов в сравнении со свойствами функций.