- •Часть 2. Основные проблемы прикладной статистики
- •2.1. Описание данных
- •2.1.1. Модели порождения данных
- •2.1.2. Таблицы и выборочные характеристики
- •2.1.3. Шкалы измерения, инвариантные алгоритмы и средние величины
- •2.1.4. Вероятностные модели порождения нечисловых данных
- •2.1.5. Средние и законы больших чисел
- •2.1.6. Непараметрические оценки плотности
- •Литература
- •Контрольные вопросы и задачи
- •2,0; 13,4; 2,2; 6,7; 11,1; 10,0; 2,6; 12,9; 10,5; 9,2; 11,1;
- •14,0; 26,0; 17,5; 7,2; 18,7; 9,9; 7,6; 11,7;11,3; 6,5.
- •Темы докладов, рефератов, исследовательских работ
Контрольные вопросы и задачи
1. Часто ли результаты измерений имеют нормальное распределение?
2. По выборке фактических данных о величине годового дохода (в тыс. долл.), взятых на конец 1970-х гг. (США), постройте вариационный ряд, гистограмму (группируя данные по 6-ти равным интервалам); определить выборочные среднее арифметическое, медиану и моду:
2,0; 13,4; 2,2; 6,7; 11,1; 10,0; 2,6; 12,9; 10,5; 9,2; 11,1;
14,0; 26,0; 17,5; 7,2; 18,7; 9,9; 7,6; 11,7;11,3; 6,5.
3. Дано распределение по градациям (табл.6) почасовой зарплаты 303 рабочих, занятых в промышленности (fi- число рабочих, имеющих почасовую зарплату xi). Постройте эмпирическую функцию распределения, найти выборочные медиану, моду и среднее арифметическое.
Таблица 6.
Распределение рабочих по ставкам почасовой оплаты
|
xi |
2,5 |
2,6 |
2,7 |
2,8 |
2,9 |
3,0 |
3,1 |
3,2 |
3,3 |
3,4 |
|
fi |
10 |
25 |
41 |
74 |
58 |
34 |
17 |
14 |
11 |
3 |
4. Какие средние величины целесообразно использовать при расчете средней заработной платы (или среднего дохода)?
5. Постройте пример, показывающий некорректность использования среднего арифметического f(X1, X2) = (X1 + X2)/2 в порядковой шкале, используя допустимое преобразование g(x) = x2 (при положительных усредняемых величинах х).
6. Постройте пример, показывающий некорректность использования среднего геометрического в порядковой шкале. Другими словами, приведите пример чисел x1, x2, y1, y2 и строго возрастающего преобразования f: R1 → R1 таких, что
(x1x2)1/2 < (y1y2)1/2, [f(x1)f(x2)]1/2 > [f(y1)f(y2)]1/2.
7. Приведите пример чисел x1, x2, y1, y2 и строго возрастающего преобразования f: R1 → R1 таких, что
[(x1)2 +(x2)2]1/2 < [(y1)2 +(y2)2]1/2,
[(f(x1))2 +(f(x2))2]1/2 > [(f(y1))2 +(f(y2))2]1/2.
8. Какая математическая модель используется для описания случайного множества?
9. Как соотносятся эмпирические и теоретические средние для числовых данных и в пространствах произвольной природы?
10. Почему описание числовых данных с помощью непараметрических оценок плотности предпочтительнее их описания с помощью гистограмм?
Темы докладов, рефератов, исследовательских работ
1. Проведите описание данных, приведенных в табл.1 (подраздел 2.1.2). Постройте таблицы (типа табл. 2 и 3 там же), рассчитайте выборочные характеристики.
2. Показатели разброса, связи, показатели различия (в том числе метрики) в порядковой шкале.
3. Ранговые методы математической статистики как инвариантные методы анализа порядковых данных.
4. Показатели разброса, связи, показатели различия (в том числе метрики) в шкале интервалов.
5. Показатели разброса, связи, показатели различия (в том числе метрики) в шкале отношений.
6. Теорема В.В. Подиновского: любое изменение коэффициентов весомости единичных показателей качества продукции приводит к изменению упорядочения изделий по средневзвешенному показателю.
7. Вероятностные модели бинарных отношений.
8. Вероятностные модели парных сравнений.
9. Средние и законы больших чисел в пространстве упорядочений.
10. Непараметрические оценки плотности в непрерывных и дискретных пространствах.