Теория вероятностей в примерах и задачах

Предположим, что для некоторого n ≥ 1 справедлива формула

Докажем, что она справедлива также и для n + 1 . По той же формуле для плотности суммы двух независимых СВ ηn+ 1(ω) = ηn( ω) + ξn+ 1( ω) получаем

Распределение с плотностью pηn (y) называется распределением Эрланга n -го порядка.

102

Пример 8.6. Пусть СВ ξ1 (ω ), ξ2 (ω ) независимы и имеют биномиальные распределения:

Пример 8.8. Пусть имеем двумерную СВ

ξ(ω ) = (ξ1 (ω ), ξ2 (ω ))

103

непрерывного типа, для которой известна плотность распределения pξ (x1, x2 ). Необходимо найти pη ( y) , где

104

Задачи

8.1. Пусть на вероятностном пространстве (Ω , F , P) , где Ω = [0,1], F – σ -алгебра борелевских множеств, P – мера Лебега, заданы СВ ξ(ω) и η(ω) . Будут ли они независимыми, если

8.2.Должны ли быть независимыми СВ ξ и η , если таковыми являются СВ ξ 2 и η2 ?

8.3.Доказать, что СВ не зависит от самой себя тогда и только тогда, когда она с вероятностью 1 равна константе.

8.4.В задаче 7.2 ответить, будут ли СВ ξ и η независимыми.

8.5.В условиях задач 7.4, 7.5 установить, являются или нет СВ ξ1,ξ2 ,ξ3 зависимыми.

8.6.Двумерная СВ ξ = (ξ1,ξ2 ) задана плотностью распре-

деления

8.7. В условиях задач 7.8, 7.16, выяснить, будут ли зависимы СВ ξ1 и ξ2 .

105

8.8. Случайный вектор (ξ, η) с неотрицательными компонен-

янной плотностью внутри квадрата со стороной a . Написать вы-

P{ξ1 = 0,ξ2 = 1} = P{ ξ1 = 1,ξ2 = }0 =

= P{ξ1 = 0,ξ2 = − 1} = P{ ξ1 = − 1,ξ2 = }0 = 0,25 .

Зависимы или нет СВ ξ1 и ξ2 ?

8.12. Какие условия нужно наложить на ξ , чтобы СВ ξ и sin ξ были независимыми?

8.13. Пусть СВ ξ и η независимы и равномерно распределены на отрезке [0,1]. Найти вероятность того, что действительны корни квадратного уравнения x2 + ξx + η = 0.

8.14. Пусть ξ и η – СВ, для которых

P(ξ > 0) = P( η > 0) = 34 , P(ξ + η > 0) = 12 .

Доказать, что ξ и η зависимы.

8.15. Пусть ξ , η и ζ– СВ, причем ξ не зависит от η и от ζ. Верно ли, что ξ не зависит от η + ζ?

106

8.16. Пусть ξ и η – независимые СВ. Доказать, что СВ min{1, ξ} и min{1, η} также являются независимыми.

8.17. Существуют ли такие СВ ξ и η , которые не равны с вероятностью 1 константам и: а) ξ и ξ + η независимы, б) ξ и

8.21. Пусть ξ и η – независимые СВ с одинаковой плотностью распределения p(x) . Обозначим через q(x) – плотность распределения СВ ξ − η . Доказать, что

q(0) = ∞∫ p2(x)dx .

−∞

8.22.Пусть ξ1, ..., ξn и η1, ..., ηn – две совокупности независимых в каждой совокупности СВ. Доказать, что если

P(ξk ≥ a) ≥ P( ηk ≥ a) ,

то

P(ξ1 + ...+ ξn ≥ a) ≥ P( η1 + ...+ ηn ≥ a) .

107

8.23. Пусть ξ и η – независимые СВ с одинаковой плот-

ностью распределения p(x) = 12 e− x . Найти плотность распре-

деления суммы ξ + η .

8.24.Найти плотность распределения суммы ξ + η незави-

симых СВ ξ и η , если ξ имеет равномерное распределение на отрезке [a, b ], а η – равномерное распределение на отрезке [c, d ], a < b, c < d, b-a ≤ d-c .

8.25.Пусть ξ1 , ..., ξn – независимые одинаково распределен-

ные СВ с плотностью p(x) . Доказать по индукции, что если –

8.26. Пусть ξ1 и ξ2 – независимые СВ, ξ1 имеет показательное распределение с параметром λ , ξ2 равномерно распределена на отрезке [a, b ]. Найти плотность распределения СВ

ξ1 + ξ2 , ξ1 − ξ2 .

108

8.29. СВ ξi , i = 1,n , независимы и имеют одно и то же показательное распределение с параметром λ = 1. Найти плотность распределения pη (y), где

8.30. Найти ф.р. произведения независимых СВ ξ1 и ξ2 по их ф.р. Fξ1 (x) и Fξ2 (x) .

8.31. СВ ξ принимает значения − 2, 0, 2 с вероятностями соответственно 0,25, 0,5, 0,25, а СВ η , независимая от ξ , принимает значения –1 и 1 с вероятностью 0,5. Найти распределение СВ ξ + η .

8.32. Дана последовательность {ξi} , i = 1,2,..., независимых

СВ, которые принимают значения 0 и 1 с вероятностью 0,5. Найти распределение СВ

8.33. СВ ξ и η независимы и имеют равномерное распределение на отрезке [0, b ]. Найти плотности распределения СВ

ξ + η , ξ − η , ξη , ξη .

8.34. Пусть СВ ξ1 и ξ2 независимы и каждая имеет показательное распределение с параметром ë. Показать, что:

деление с параметрами a = 0 , σ 2 = 1. Показать, что СВ

109

η = 12 (ξ12 + ξ22 )

имеет показательное распределение с параметром λ = 1.

8.36. Пусть СВ ξ1 и ξ2 независимы и имеют нормальные распределения соответственно N (0,σ 12) и N (0,σ 22). Показать, что

8.37.СВ ξ имеет плотность распределения pξ (x), а η – дискретная СВ, принимающая значения x1, x2 , … с вероятностями соответственно p1, p2 , … . Найти закон распределения их суммы ξ + η .

8.38.Студент при поездке в университет пользуется двумя автобусами; первого ему приходится ожидать не более 5 минут, второго – не более 10 минут. Считая время ожидания ξ и η авто-

бусов независимыми случайными величинами, распределенными равномерно соответственно в интервалах [0, 5 ]и [0, 10 ], найти плотность распределения суммарного ожидания ξ + η .

8.39.Решить предыдущую задачу в случае, когда ξ и η распределены по показательному закону соответственно с парамет-

рами ë и μ .

8.40. Для выполнения некоторой работы необходимо выполнить последовательно две операции. Время выполнения первой операции имеет равномерное распределение на отрезке [1, 3], время t1 выполнения второй операции t2 – СВ, равномерно распределенная на отрезке [2, 5 ]. Найти распределение времени выполнения всей работы t1 + t2 , если t1 и t2 – независимые СВ.

8.41. СВ ξi доходов фирмы за i-й рабочий день имеет гаммараспределение с параметром pi , i = 1,n. Найти плотность распределения среднего дохода фирмы

110