Математический анализ / Математический анализ учебник

4. Найдем экстремальные значения функции

ymax = y(¡2) = ¡8 + 24 = 16; ymin = y(2) = 8 ¡ 24 = ¡16:

1.9.3. Исследование функции на экстремум с помощью второй производной

Сформулируем теорему, которая позволяет исследовать функцию на экстремум с помощью второй производной.

Теорема 1.9.5. Пусть функция f(x) дважды непрерывно дифференцируема в окрестности точки x1. Если

f0(x1) = 0; то при x = x1

функция имеет max; если f00(x1) < 0 и функция имеет min; если f00(x1) > 0:

Доказательство. Докажем первую часть теоремы.

Пусть f0(x1) = 0 и f00(x1) < 0: Поскольку функция f00(x) непрерывна в окрестности точки x1, то найдется достаточно малый интервал (a; b) 3 x1, содержащий точку x1, в котором f00(x) < 0: Но тогда функция f0(x) убывает на интервале (a; b). Поскольку f0(x1) = 0, то при x < x1 f0(x) > 0, а при x > x1f0(x) < 0. Это означает, что первая производная меняет знак с плюса на минус при переходе через точку x1. Поэтому у функции f(x) в точке x1 максимум.

Аналогично теорема доказывается и для точки минимума.

1.9.4. Нахождение наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке

Непрерывная на отрезке функция достигает своего наибольшего и наименьшего значений, поэтому рассмотрим схему нахождения этих значений.

Пусть функция f(x) непрерывна на отрезке [a; b].

1.Находим все критические точки xi 2 [a; b]; i = 1; : : : n, принадлежащие отрезку [a; b].

2.Находим значение функции f(xi) в этих точках.

3.Находим f(a) и f(b).

4.Находим наибольшее и наименьшее среди всех найденных значений.

61

Пример 1.9.4. Найти наибольшее и наименьшее значения функции y = ¡x4 + 8x2 ¡ 1 на отрезке [¡1; 3].

1. Найдем критические точки:

y0 = ¡4x3 + 16x = 0 или x(x2 ¡ 4) = 0;

тогда

x1 = 0; x2 = ¡2; x3 = 2:

Из этих критических точек отрезку [¡1; 3] принадлежат точки x1 = 0 и x3 = 2.

2.f(x1) = f(0) = ¡1; f(x3) = f(2) = 15:

3.f(a) = f(¡1) = 6; f(b) = f(3) = ¡10:

4.fнаиб = f(2) = 15; fнаим = f(3) = ¡10:

1.10. Выпуклость, вогнутость кривой, точки перегиба

Рассмотрим кривую y = f(x), являющуюся графиком дифференцируемой функции f(x).

Определение 1.10.1. Говорят, что кривая обращена выпуклостью вверх, на интервале (a; b), если все точки кривой лежат ниже любой ее касательной на этом интервале.

Говорят, что кривая обращена выпуклостью вниз, на интервале (a; b), если все точки кривой лежат выше любой ее касательной на этом интервале.

Кривую, обращенную выпуклостью вверх будем называть выпуклой, а обращенную выпуклостью вниз вогнутой.

Теорема 1.10.1 (Достаточное условие). Если на интервале (a; b) вторая производная функции f(x) отрицательна, т.е. f00(x) < 0 8x 2 (a; b), то кривая y = f(x) выпукла на этом интервале, т.е. обращена выпуклостью вверх.

Доказательство. Пусть точка x0 2 (a; b). Проведем касательную к кривой y = f(x) в точке x0. Надо показать, что все точки кривой лежат ниже этой касательной, т.е. что ордината любой точки кривой y = f(x) меньше ордината y¹ касательной при одном и том же значение x (см.рис. 1.6).

Напишем уравнение касательной к кривой y = f(x) в точке x0: y¹ ¡ f(x0) = f0(x0)(x ¡ x0) или

y¹ = f(x0) + f0(x0)(x ¡ x0):

62

Yy¹ y

o a x0 x b X

Рис. 1.6.

Вычтем из уравнения кривой почленно уравнение касательной, полу-

чим

y ¡ y¹ = f(x) ¡ f(x0) ¡ f0(x0)(x ¡ x0):

Применим теорему Лагранжа к функции f(x) на отрезке [x; x0], получим y ¡ y¹ = f0(c)(x ¡ x0) ¡ f0(x0)(x ¡ x0);

где c 2 (x; x0) или

y¡ y¹ = (f0(c) ¡ f0(x0))(x ¡ x0):

Кпервой производной f0(x) опять применим теорему Лагранжа на отрезке [x0; c], получим

где c1 2 (x0; c) ½ (x0; x).

Пусть x > x0, тогда x0 < c1 < c < x, поэтому c ¡ x0 > 0 и x ¡ x0 > 0. Поскольку по условию теоремы f00(c1) < 0, то в (1.10) получим y ¡ y¹ < 0

или y < y¹.

Пусть теперь x < x0, тогда x < c < c1 < x0, поэтому теперь c¡x0 < 0 и x ¡ x0 < 0. Поскольку, по-прежнему, f00(c1) < 0, то в (1.10) опять получим

y ¡ y¹ < 0 или y < y¹.

Таким образом, мы получили, что ордината любой точки кривой y = f(x) меньше ординаты y¹ касательной при одном и том же x. А значит касательная лежит выше кривой и она выпукла вверх.

63

Теорема 1.10.2. Если на интервале (a; b) вторая производная функции f(x) положительна, т.е. f00(x) > 0, то кривая y = f(x) вогнута на этом интервале.

1.10.1. Точки перегиба

Определение 1.10.2. Точка M(c; f(c)) называется точкой перегиба кривой y = f(x), если существует окрестность точки c, в которой точка M отделяет выпуклую часть кривой от вогнутой.

Замечание 1.10.1. Заметим, что в точке перегиба касательная пересекает кривую.

Теорема 1.10.3 (Необходимое условие существования точки перегиба). Пусть функция f(x) дважды непрерывно дифференцируема в окрестности точки c и график функции f(x) имеет перегиб в точке M(c; f(c)), тогда f00(c) = 0.

Доказательство. Предположим, что f00(c) =6 0 и пусть для определенности f00(c) < 0. Тогда, в силу непрерывности функции y = f00(x), найдется достаточно малая окрестность точки c, в которой f00(x) < 0. Поэтому по теореме 10.1, кривая y = f(x) будет выпукла на этом интервале, что противоречит условию теоремы. Аналогично теорема доказывается в случае, если f00(c) > 0.

Теорема 1.10.4 (Достаточное условие существования точки перегиба).

Пусть кривая определяется уравнением y = f(x). Если f00(c) = 0 или не существует и при переходе через значение x = c вторая производная f00(x) меняет знак, то точка M(c; f(c)) точка перегиба.

Доказательство очевидно.

1.11. Асимптоты кривой. Полное исследование функции

Определение 1.11.1. Прямая l = f(x; y) : y = kx + bg называется асимптотой кривой y = f(x), если расстояние ± от переменной точки M кривой до этой прямой l, при удалении точки M по кривой в бесконечность, стремиться к нулю.

1.11.1. Вертикальные асимптоты

Предложение 1.11.1. Пусть x = a вертикальная асимптота кривой y = f(x). Тогда либо lim f(x) = 1, либо lim f(x) = 1, либо

lim f(x) = 1, и обратно, если выполняется одно из написанных равенств,

x!a

то x = a вертикальная асимптота.

64

Пример 1.11.1. Найти вертикальные асимптоты функции y = x ¡3 1. Найдем

Поэтому x = 1 вертикальная асимптота.

1.11.2. Наклонные асимптоты

Будем считать в дальнейшем, что x ! +1, аналогичные утверждения справедливы и для x ! ¡1.

Лемма 1.11.1. Для того, чтобы прямая y = kx + b была наклонной асимптотой к графику функции y = f(x), необходимо и достаточно чтобы

f(x) = kx + b + ®(x); где ®(x) ! 0 при x ! +1:

Доказательство. Пусть y¹ = kx + b наклонная асимптота к графику функции y = f(x) (см.рис. 1.7).

Y

yM ±

Рис. 1.7.

Пусть M(x; y) произвольная точка кривой, ± = jMP j расстояние до асимптоты. Тогда по условию теоремы

lim jMP j = 0;

x!+1

65

Следовательно, прямая y¹ = kx+b асимптота к графику кривой y = f(x):

Теорема 1.11.1. Для того, чтобы график функции y = f(x) при x ! +1 имел наклонную асимптоту y = kx + b, необходимо и достаточно, чтобы существовали пределы

Доказательство. Необходимость. Пусть график функции y = f(x) имеет при x ! +1 наклонную асимптоту y = kx + b. Тогда по лемме 10.1 для функции f(x) справедливо представление f(x) = kx + b + ®(x), где ®(x) ! 0 при x ! +1. Используя это представление, легко получить, что

Поэтому f(x) = kx + b + ®(x) и по лемме 10.1 отсюда следует, что прямая y = kx + b наклонная асимптота к графику функции y = f(x).

1.11.3. Полное исследование функции

Схема исследования функции.

1.Найти область определения функции.

2.Найти область изменения функции (по возможности).

3.Найти нули функции.

4.Определить четность, нечетность функции.

5.Определить периодичность функции.

6.Исследовать на непрерывность и точки разрыва.

7.Исследовать на возрастание, убывание и точки экстремума.

8.Исследовать на выпуклость, вогнутость и точки перегиба.

9.Найти вертикальные и наклонные асимптоты.

10.Нарисовать график функции.

Пример 1.11.2. Провести полное исследование и нарисовать график

функции

4 + x y = x2 :

1.Область определения: D = x 2 (¡1; 0) [ (0; +1):

2.Область изменения: E = y 2 (¡161 ; +1).

3.y = 0 при x = ¡4.

4.Функция ни четная, ни нечетная, так как

4 ¡ x y(¡x) = x2 :

5.Функция не периодическая.

6.Функция непрерывна при x 2 (¡1; 0) [ (0; +1) как частное двух элементарных функций. Рассмотрим точку x = 0.

поэтому x = 0 точка разрыва II рода.

7. Найдем первую производную данной функции

фик.

68

Y

¡12 ¡8 ¡4

X

Рис. 1.8.

1.Область определения D = (¡1; ¡1) [ (¡1; 1) [ (1; +1).

2.Область изменения E = (0; +1).

3.Функция в ноль не обращается.

4.Функция четная, так как

5.Функция не периодическая.

6.Функция непрерывна при x 2 (¡1; ¡1) [(¡1; 1) [(1; +1) как сложная функция элементарных функций.

Рассмотрим точку x = ¡1

Поэтому x = ¡1 точка разрыва II рода. Теперь рассмотрим точку x = 1

Поэтому x = 1 точка разрыва II рода.

7. Найдем первую производную этой функции

Найдем критический точки, где производная равна нулю или не существует:

x1 = 0; x2 = ¡1; x3 = 1:

69

9. Поскольку x = ¡1 и x = 1 точки разрыва второго рода с бесконечным разрывом, то прямые x = §1 вертикальные асимптоты данной кривой.

Найдем наклонные асимптоты этой кривой

Поэтому прямая y = 1 горизонтальная асимптота функции. 10. Построим график этой функции

70