Математический анализ / Математический анализ учебник

Определение 1.1.6. Число b называется пределом функции f(x) в точке a, если для любого положительного числа " существует положительное число ± такое, что для всех x, удовлетворяющих неравенству 0 < jx ¡ aj < ± следует, что jf(x) ¡ bj < ".

Символически это определение записывается следующим образом: Число b называется пределом функции f(x) в точке a, если

8" > 0 9± > 0 : 8x : 0 < jx ¡ aj < ± ) jf(x) ¡ bj < ":

Предел функции обозначается

b = lim f(x):

x!a

Определение 1.1.7. Число b называется пределом функции f(x) в бесконечности (1), если 8" > 0 9N 2 N : jxj > N ) jf(x) ¡ bj < ".

Этот предел обозначается следующим образом lim f(x) = b.

x!1

Дадим определения односторонних пределов функции в точке.

Определение 1.1.8. Число b1 называется пределом функции f(x)

слева в точке a, если 8" > 0 9± > 0 : 0 < a ¡ x < ± ) jf(x) ¡ bj < " и

обозначается

b1 = lim f(x):

x!a¡0

Определение 1.1.9. Число b2 называется пределом функции f(x)

справа в точке a, если 8" > 0 9± > 0 : 0 < x ¡ a < ± ) jf(x) ¡ bj < " и

обозначается

b1 = lim f(x):

x!a+0

Отметим следующее свойство предела функции.

Теорема 1.1.1. Если существует конечный предел функции f(x) в точке a, то функция ограничена в некоторой окрестности точки a.

Доказательство. Пусть lim f(x) = b и jbj < 1. Зафиксируем некоторое

x!a

" > 0, тогда по определению предела найдется ± > 0, для которого jf(x) ¡ bj < " для всех x из ±-окрестности точки a. Тогда jf(x)j < jbj + " в этой окрестности, т.е. f(x) ограничена.

11

1.1.2. Теоремы о пределах

Сформулируем теорему об основных свойствах пределов функции в точке и в бесконечности.

Теорема 1.1.2 (Арифметические операции над пределами). Если существуют

lim f(x) = b и lim '(x) = c;

x!a

Доказательство. Докажем только первое утверждение теоремы. Остальные доказываются аналогично. Зафиксируем некоторое " > 0. Из существования пределов функций f(x) и '(x) в точке a следует выполне-

некоторой окрестности точки a выполняется f(x) 6 Ã(x) 6 '(x);

12

то lim Ã(x) = b.

x!a

Доказательство. Из неравенства f(x) 6 Ã(x) 6 '(x) следует, что f(x)¡ b 6 Ã(x) ¡b 6 '(x) ¡b. Возьмем произвольное " > 0. Тогда из определения

jx ¡ aj < ±2 ) j'(x) ¡ bj < ", т.е. '(x) ¡ b < ". Тогда 8" 9± : ± < ±1; ± <

±2 : 8x : jx ¡ aj < ± ) ¡" < f(x) ¡ b 6 Ã(x) ¡ b 6 '(x) ¡ b < ", то ¡" < Ã(x) ¡ b < " или jÃ(x) ¡ bj < ". Что и доказывает утверждение

теоремы.

Теорема 1.1.4. Если существует lim f(x) = b и f(x) > 0 в некоторой

x!a

окрестности точки a, то b > 0.

Теорема 1.1.5. Если существуют lim f(x) = b и lim '(x) = c и

f(x) > '(x) в некоторой окрестности точки a, то b > c.

1.1.3. Предел числовой последовательности

Определение 1.1.10. Числовой последовательностью называется функция натурального аргумента, т.е. un = u(n), где n 2 N, или если каждому натуральному числу n поставлено в соответствие некоторое действительное число un, то говорят, что задана числовая последовательность fung.

Пусть даны две числовые последовательности fung и fvng, тогда определены сумма последовательностей ½fun¾+ vng, разность fun ¡ vng,

произведение fun ¢ vng и частное un . vn

Дадим некоторые определения, касающиеся числовых последовательностей.

Определение 1.1.11. Числовая последовательность fung называется ограниченной сверху, если 9M 2 R : 8n ) un 6 M и числовая последовательность fung называется ограниченной снизу, если

9m 2 R : 8n ) un > m.

Числовая последовательность называется ограниченной, если она ограничена и сверху и снизу.

Определение 1.1.12. Числовая последовательность fung называется монотонно возрастающей, если 8n 2 N выполняется un 6 un+1.

Числовая последовательность fung называется монотонно убывающей, если 8n 2 N выполняется un > un+1.

13

Пример 1.1.4. Последовательность fsin ng является ограниченной последовательностью, но не является монотонной.

Пример 1.1.5. Последовательность fng является монотонно возрастающей и ограниченной снизу последовательностью.

Определение 1.1.13. Число a называется пределом числовой последовательности fung при n ! 1, если 8" > 0 9N 2 N : 8n > N ) jun ¡ aj < ", т.е. начиная с некоторого номера N все члены последовательности попадают в "-окрестность U"(a) точки a.

Числовая последовательность имеющая предел называется сходящейся.

Теорема 1.1.6. Монотонно возрастающая, ограниченная сверху (или монотонно убывающая, ограниченная снизу) числовая последовательность fung имеет предел, т.е. она сходится.

Теоремы 1.1.2–1.1.5 верны и для числовых последовательностей.

0 является монотонно убывающей и ограниченной, то она имеет предел.

1.1.4.Замечательные пределы

1.Докажем первый замечательный предел:

lim sin x = 1:

x!0 x

14

могательный прямоугольный треугольник 4OCA (см. рис.1.1). Тогда

M C

1

x

o1 B A

Рис. 1.1.

высота MB в треугольнике 4OMA будет равна jMBj = sin x, дуга

^ MA = x и сторона jCAj = tg x. Очевидно, что S4OMA < SсекOMA < S4OCA. Найдем значения этих площадей:

Поскольку lim cos x = 1, то по теореме 1.1.3 получим, что

x!0

lim sin x = 1:

x!0 x

Аналогично доказывается более общий случай первого замечательного предела, где вместо x стоит произвольная функция, стремящаяся к нулю:

2. Приведем без доказательства второй замечательный предел:

lim µ1 + 1 ¶x = e;

x!1 x

и в более общей форме

Приведем второй замечательный предел в логарифмической форме

1.1.5. Сложные проценты

Показательная функция с основанием e возникает при выводе количественных законов, которым подчиняются многие естественные процессы: рост народонаселения, рост количества древесины, радиоактивный распад.

где Q(t) сумма, наращенная за t лет, Q0 начальная сумма, p процентная такса (прирост суммы в процентах за год). При этом предполагается, что проценты присоединяются в конце года.

Пример 1.1.16. Найти приблизительное количество населения Земли в 2000 году, предполагая, что в 1900 году население было около 1 миллиарда человек и ежегодный прирост составлял 2%:

Имеем Q0 = 109; p = 2; t = 2000 ¡ 1900 = 100. Тогда

9 2¢100 2

Q(100) = 10 ¢ e 100 = e ¼ 7:3441:

Это означает, что в 2000 году население Земли составит около 7 миллиардов человек.

17

1.2. Бесконечно малые. Сравнение бесконечно малых

Определение 1.2.1. Функция ®(x) называется бесконечно малой при

x ! a, если lim ®(x) = 0. То есть

x!a

8" > 0 9± > 0 : 8x : jx ¡ aj < ± ) j®(x)j < ":

Аналогично, функция ®(x) называется бесконечно малой при x ! 1,

если lim ®(x) = 0.

x!1

Пример 1.2.1. Функция ®(x) = (x ¡ 1)2 бесконечно малая при x ! 1,

так как lim (x ¡ 1)2 = 0.

x!1

Пример 1.2.2. Функция ®(x) = x1 бесконечно малая при x ! 1, так

как lim 1 = 0.

x!1 x

Докажем следующую теорему о существовании предела функции в точке.

Теорема 1.2.1. Для того, чтобы функция y = f(x) имела предел при

x ! a равный b, т.е. lim f(x) = b, необходимо и достаточно, чтобы

x!a

f(x) = b + ®(x), где ®(x) функция бесконечно малая при x ! a.

Доказательство. 1. Достаточность. Пусть f(x) = b + ®(x) покажем, что

lim f(x) = b:

x!a

Так как jf(x)¡bj = j®(x)j и по определению бесконечно малой функции

8" > 0 9± > 0 : 8x : jx ¡ aj < ± ) j®(x)j < ";

тогда и jf(x)¡bj = j®(x)j < "; а это и означает, что существует lim f(x) = b.

x!a

2. Необходимость. Наоборот, пусть существует lim f(x) = b. Тогда

x!a

8" > 0 9± > 0 : 8x : jx ¡ aj < ± ) jf(x) ¡ bj < ":

Обозначим f(x) ¡ b = ®(x), тогда и j®(x)j < ", а это значит, что ®(x) бесконечно малая функция при x ! a и f(x) = b + ®(x):

Дадим определение бесконечно большой функции.

Определение 1.2.2. Функция ¯(x) называется бесконечно большой

при x ! a, если lim ¯(x) = 1. То есть

x!a

8M > 0 9± > 0 : 8x : jx ¡ aj < ± ) j¯(x)j > M:

Аналогично, функция ¯(x) называется бесконечно большой при x !

1, если lim ¯(x) = 1.

x!1

18

Сформулируем теорему о связи бесконечно малой и бесконечно большой функций.

Теорема 1.2.2. Если функция ®(x) бесконечно малая при x ! a (x !

1

1) и ®(x) 6= 0, то функция ¯(x) = ®(x) a (x ! 1) и обратно.

Теорема 1.2.3. Сумма конечного числа бесконечно малых есть функция бесконечно малая при x ! a.

Доказательство. Докажем эту теорему для случая двух функций.

Что и доказывает теорему.

Теорема 1.2.4. Произведение любого конечного числа бесконечно малых функций есть функция бесконечно малая при x ! a.

Доказательство. Доказательство этой теоремы очевидно.

Теорема 1.2.5. Произведение бесконечно малой функции ®(x) на функцию u(x), ограниченную при x ! a, есть функция бесконечно малая при x ! a.

19

Доказательство. Из ограниченности функции u(x) следует, что

9M 9±1 > 0 : 8x : jx ¡ aj < ±1 ) ju(x)j < M:

Возьмем произвольное " > 0, тогда из бесконечной малости функции ®(x)

Отсюда следует, что lim ®(x)u(x) = 0.

x!a

Следствие 1.2.1. Если ®(x) ! 0 при x ! a и c = const, то

lim c®(x) = 0.

x!a

Теорема 1.2.6. Частное бесконечно малой функции и функции, имеющей предел отличный от нуля при x ! a есть функция бесконечно малая.

Сравнение бесконечно малых. Эквивалентность бесконечно малых

то бесконечно малые ®(x) и ¯(x) называются бесконечно малыми одного порядка при x ! a.

Пример 1.2.3. Функции ®(x) = x; ¯(x) = sin 3x бесконечно малые