Задача 1.5

При контрольной проверке качества поставленной в торговлю колбасы получены следующие данные о содержании поваренной соли в пробах, %: 4,3; 4,2; 3,8; 4,3; 3,7; 3,9; 4,5; 4,4; 4,0; 3,9 . По данным выборочного обследования установить с вероятностью 0,95 предел ( по распределению Стьюдента), где находится средний процент содержания поваренной соли в данной партии товара.

Решение

Составляем расчётную таблицу и по её итогам определяем среднюю  пробу  малой выборки.

Пробы
4 , 3	0, 2	0,04
4,2	0,1	0,01
3,8	0,3	0,09
4,3	0,2	0,04
3,7	- 0,4	0,16
3,9	- 0,2	0,04
4,5	0,4	0,16
4,4	0,3	0,09
4,0	- 0,1	0,01
3,9	- 0,2	0,04
41,0	—	0,68

Средняя ошибка малой выборки  вычисляется по формуле:

,

где  — дисперсия малой выборки.

Исходя из численности выборки (п=10) и заданной вероятности S, =0,95, устанавливается по распределению Стьюдента (значение коэффициента доверия t=2,263.

Предельная ошибка малой выборки составит:

2,263(±0,087) * ±0,02%

Следовательно, с вероятностью 0,95 можно утверждать, что во всей партии  колбасы  содержание  поваренной  соли. Следовательно, с вероятностью 0,95 можно утверждать, что во всей партии  колбасы  содержание  поваренной   соли  находится в пределах:

х = х ± A._{w в} = 4,1% ± 0,2% , т.е.от 4,1% - 0, 2%= 3, 9%

до 4,1%+0,2%=4,3%.

Задача 1.14

По данным построить эмпирическую и теоретическую линии регрессии, определить уравнение связи между стоимостью упаковки и выпуском изделий.

Найти коэффициент корреляции:

Таблица 4 - Исходные данные

Стоимость упаковки	Выпуск изделий, тыс. шт.
тыс.р.	1	2	3	4
10	-	-	-	2
8	1	1	6	7
6	3	9	7	1
4	6	5	2	-

Решение

Определим вектор оценок коэффициентов регрессии. Согласно методу наименьших квадратов, вектор s получается из выражения:

s = (X^TX)^-1X^TY

Матрица X

1				2
1	1	1	6	7
1	3	9	7	1
1	6	5	2
1
1

Матрица Y

10

8

6

4

Матрица X^T

1	1	1	1	1	1
	1	3	6
	1	9	5
	6	7	2
2	7	1

Умножаем матрицы, (X^TX)

6	10	15	15	10
10	46	58	39	10
15	58	107	79	16
15	39	79	89	49
10	10	16	49	54

В матрице, (X^TX) число 6, лежащее на пересечении 1-й строки и 1-го столбца, получено как сумма произведений элементов 1-й строки матрицы X^T и 1-го столбца матрицы X

Умножаем матрицы, (X^TY)

28

50

82

98

82

Находим обратную матрицу (X^TX)^-1

0.5	0.0221	-0.22	0.24	-0.25
0.0221	0.12	-0.16	0.15	-0.12
-0.22	-0.16	0.41	-0.46	0.37
0.24	0.15	-0.46	0.55	-0.44
-0.25	-0.12	0.37	-0.44	0.37

Вектор оценок коэффициентов регрессии равен

Y(X) = (X^TX)^-1X^TY =

0

-1.39

4.47

-5.01

5

Уравнение регрессии (оценка уравнения регрессии)

Y = 0-1.39X₁ + 4.47X₂-5.01X₃ + 5X₄

Число наблюдений n = 6. Число независимых переменных в модели равно 4, а число регрессоров с учетом единичного вектора равно числу неизвестных коэффициентов. С учетом признака Y, размерность матрицы становится равным 6. Матрица, независимых переменных Х имеет размерность (6 х 6).

Матрица, составленная из Y и X

1	10				2
1	8	1	1	6	7
1	6	3	9	7	1
1	4	6	5	2
1
1

Транспонированная матрица.

1	1	1	1	1	1
10	8	6	4
	1	3	6
	1	9	5
	6	7	2
2	7	1

Матрица A^TA.

6	28	10	15	15	10
28	216	50	82	98	82
10	50	46	58	39	10
15	82	58	107	79	16
15	98	39	79	89	49
10	82	10	16	49	54

Полученная матрица имеет следующее соответствие:

∑n	∑y	∑x1	∑x2	∑x3	∑x4
∑y	∑y2	∑x1 y	∑x2 y	∑x3 y	∑x4 y
∑x1	∑yx1	∑x1 2	∑x2 x1	∑x3 x1	∑x4 x1
∑x2	∑yx2	∑x1 x2	∑x2 2	∑x3 x2	∑x4 x2
∑x3	∑yx3	∑x1 x3	∑x2 x3	∑x3 2	∑x4 x3
∑x4	∑yx4	∑x1 x4	∑x2 x4	∑x3 x4	∑x4 2

Найдем парные коэффициенты корреляции.

Признаки x и y	∑xi		∑yi		∑xiyi
Для y и x1	10	1.67	28	4.67	50	8.33
Для y и x2	15	2.5	28	4.67	82	13.67
Для y и x3	15	2.5	28	4.67	98	16.33
Для y и x4	10	1.67	28	4.67	82	13.67
Для x1 и x2	15	2.5	10	1.67	58	9.67
Для x1 и x3	15	2.5	10	1.67	39	6.5
Для x1 и x4	10	1.67	10	1.67	10	1.67
Для x2 и x3	15	2.5	15	2.5	79	13.17
Для x2 и x4	10	1.67	15	2.5	16	2.67
Для x3 и x4	10	1.67	15	2.5	49	8.17

Признаки x и y
Для y и x1	4.89	14.22	2.21	3.77	0.0666
Для y и x2	11.58	14.22	3.4	3.77	0.16
Для y и x3	8.58	14.22	2.93	3.77	0.42
Для y и x4	6.22	14.22	2.49	3.77	0.63
Для x1 и x2	11.58	4.89	3.4	2.21	0.73
Для x1 и x3	8.58	4.89	2.93	2.21	0.36
Для x1 и x4	6.22	4.89	2.49	2.21	-0.2
Для x2 и x3	8.58	11.58	2.93	3.4	0.69
Для x2 и x4	6.22	11.58	2.49	3.4	-0.18
Для x3 и x4	6.22	8.58	2.49	2.93	0.55

Матрица парных коэффициентов корреляции.

-	y	x1	x2	x3	x4
y	1	0.0666	0.16	0.42	0.63
x1	0.0666	1	0.73	0.36	-0.2
x2	0.16	0.73	1	0.69	-0.18
x3	0.42	0.36	0.69	1	0.55
x4	0.63	-0.2	-0.18	0.55	1

Для отбора наиболее значимых факторов x_i учитываются следующие условия:

- связь между результативным признаком и факторным должна быть выше межфакторной связи;

- связь между факторами должна быть не более 0.7. Если в матрице есть межфакторный коэффициент корреляции r_xjxi > 0.7, то в данной модели множественной регрессии существует мультиколлинеарность.;

- при высокой межфакторной связи признака отбираются факторы с меньшим коэффициентом корреляции между ними.

В нашем случае r_{x1 x2} имеют |r|>0.7, что говорит о мультиколлинеарности факторов и о необходимости исключения одного из них из дальнейшего анализа.

Анализ первой строки этой матрицы позволяет произвести отбор факторных признаков, которые могут быть включены в модель множественной корреляционной зависимости. Факторные признаки, у которых |r_yxi| < 0.5 исключают из модели. Можно дать следующую качественную интерпретацию возможных значений коэффициента корреляции (по шкале Чеддока): если |r|>0.3 – связь практически отсутствует; 0.3 ≤ |r| ≤ 0.7 - связь средняя; 0.7 ≤ |r| ≤ 0.9 – связь сильная; |r| > 0.9 – связь весьма сильная.

Проверим значимость полученных парных коэффициентов корреляции с помощью t-критерия Стьюдента. Коэффициенты, для которых значения t-статистики по модулю больше найденного критического значения, считаются значимыми.

Рассчитаем наблюдаемые значения t-статистики для r_yx1 по формуле:

где m = 1 - количество факторов в уравнении регрессии.

По таблице Стьюдента находим Tтабл

t_крит(n-m-1;α/2) = (4;0.025) = 2.776

Поскольку t_набл < t_крит, то принимаем гипотезу о равенстве 0 коэффициента корреляции. Другими словами, коэффициент корреляции статистически - не значим

Рассчитаем наблюдаемые значения t-статистики для r_yx2 по формуле:

Поскольку t_набл < t_крит, то принимаем гипотезу о равенстве 0 коэффициента корреляции. Другими словами, коэффициент корреляции статистически - не значим

Рассчитаем наблюдаемые значения t-статистики для r_yx3 по формуле:

Поскольку t_набл < t_крит, то принимаем гипотезу о равенстве 0 коэффициента корреляции. Другими словами, коэффициент корреляции статистически - не значим

Рассчитаем наблюдаемые значения t-статистики для r_yx4 по формуле:

Поскольку t_набл < t_крит, то принимаем гипотезу о равенстве 0 коэффициента корреляции. Другими словами, коэффициент корреляции статистически - не значим

Таким образом, связь м является существенной.

Задача 1.16

Выполните требуемые расчеты по розничному товарообороту ( РТО ).

Таблица 11 - Исходные данные

Месяцы	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
РТО,млрд р	68,6	64,3	67,8	69,4	68,4	68,1	69,0	71,5	74,6	74,9	76,5	89,5

Определите

Средний уровень ряда

Темпы роста

Цепной

Средний

Темпы прироста

Цепной

Средний

Произвести сглаживание ряда

Методом скользящей средней

- период равен трем

Решение

Важнейшим статистическим показателем динамики является абсолютный прирост, который определяется в разностном сопоставлении двух уровней ряда динамики в единицах измерения исходной информации.

Абсолютный прирост

цепной прирост: ∆y_ц = y_i - y_i-1

базисный прирост: ∆y_б = y_i - y₁

Темпы прироста характеризуют абсолютный прирост в относительных величинах. Исчисленный в процентах темп прироста показывает, на сколько процентов изменился сравниваемый уровень с уровнем, принятым за базу сравнения.

Темп прироста

цепной темп прироста: T_прцi = ∆y_i / y_i-1

базисный темп прироста: T_пpб = ∆y_бi / y₁

Распространенным статистическим показателем динамики является темп роста. Он характеризует отношение двух уровней ряда и может выражаться в виде коэффициента или в процентах.

Темп роста

цепной темп роста: T_pцi = y_i / y_i-1

базисный темп роста: T_pб = y_бi / y₁

Абсолютное значение 1% прироста

цепной: 1%_цi = y_i-1 / 100%

базисный: 1%_б = y_б / 100%

Темп наращения

Важным статистическим показателем динамики социально-экономических процессов является темп наращивания, который в условиях интенсификации экономики измеряет наращивание во времени экономического потенциала

T_н = ∆y_цi / y₁

Цепные показатели ряда динамики.

Период	розничный товарооборот	Абсолютный прирост	Темп прироста, %	Темпы роста, %	Абсолютное содержание 1% прироста	Темп наращения, %
1	68.6	-	-	100	0.69	0
2	64.3	-4.3	-6.27	93.73	0.69	-6.27
3	67.8	3.5	5.44	105.44	0.64	5.1
4	69.4	1.6	2.36	102.36	0.68	2.33
5	68.4	-1	-1.44	98.56	0.69	-1.46
6	68.1	-0.3	-0.44	99.56	0.68	-0.44
7	69	0.9	1.32	101.32	0.68	1.31
8	71.5	2.5	3.62	103.62	0.69	3.64
9	74.6	3.1	4.34	104.34	0.72	4.52
10	74.9	0.3	0.4	100.4	0.75	0.44
11	76.6	1.7	2.27	102.27	0.75	2.48
12	89.5	12.9	16.84	116.84	0.77	18.8
Итого	862.7

В 12 по сравнению с 11 розничный товарооборот увеличилось на 12.9 млрд.руб. или на 16.84%

Максимальный прирост наблюдается в 12 (12.9 млрд.руб.)

Минимальный прирост зафиксирован в 2 (-4.3 млрд.руб.)

Темп наращения показывает, что тенденция ряда возрастающая, что свидетельствует об ускорении розничный товарооборот

Базисные показатели ряда динамики.

Период	розничный товарооборот	Абсолютный прирост	Темп прироста, %	Темпы роста, %
1	68.6	-	-	100
2	64.3	-4.3	-6.27	93.73
3	67.8	-0.8	-1.17	98.83
4	69.4	0.8	1.17	101.17
5	68.4	-0.2	-0.29	99.71
6	68.1	-0.5	-0.73	99.27
7	69	0.4	0.58	100.58
8	71.5	2.9	4.23	104.23
9	74.6	6	8.75	108.75
10	74.9	6.3	9.18	109.18
11	76.6	8	11.66	111.66
12	89.5	20.9	30.47	130.47
Итого	862.7

В 12 по сравнению с 1 розничный товарооборот увеличилось на 20.9 млрд.руб. или на 30.47%

Расчет средних характеристик рядов.

Средний уровень ряда y динамики характеризует типическую величину абсолютных уровней.

Средний уровень интервального ряда рассчитывается по формуле:

Среднее значение розничный товарооборот с 1 по 12 составило 71.89 млрд.руб.

Средний темп роста

В среднем за весь период рост анализируемого показателя составил 1.02

Средний темп прироста

В среднем с каждым периодом розничный товарооборот увеличивалась на 2%.

Средний абсолютный прирост представляет собой обобщенную характеристику индивидуальных абсолютных приростов ряда динамики.

Средний абсолютный прирост

С каждым периодом розничный товарооборот в среднем увеличивалось на 1.9 млрд.руб. .

Одним из эмпирических методов является метод скользящей средней. Этот метод состоит в замене абсолютных уровней ряда динамики их средними арифметическими значениями за определенные интервалы. Выбираются эти интервалы способом скольжения: постепенно исключаются из интервала первые уровни и включаются последующие.

t	y	ys	Формула	(y - ys)2
1	1	-	-	-
2	2	2	(1 + 2 + 3)/3	0
3	3	3	(2 + 3 + 4)/3	0
4	4	4	(3 + 4 + 5)/3	0
5	5	5	(4 + 5 + 6)/3	0
6	6	6	(5 + 6 + 7)/3	0
7	7	7	(6 + 7 + 8)/3	0
8	8	8	(7 + 8 + 9)/3	0
9	9	9	(8 + 9 + 10)/3	0
10	10	10	(9 + 10 + 11)/3	0
11	11	11	(10 + 11 + 12)/3	0
12	12	-	-	-
				0

Стандартная ошибка (погрешность) рассчитывается по формуле:

где i = (t-m-1, t)