-
Отделимость выпуклых множеств.
Опр.
1:
Множества
отделимы, если существует вектор
,
что
(1) строго отделимы, если
и сильно отделимы, если в (1) знак
неравенства строгий.
Замечание: Геометрический смысл О.1 в существовании гиперплоскости, что А и В лежат в разных полупространствах по отношению к ней. Гиперплоскость отделяющая (строго, сильно).
Теорема
1:
Пусть
непустые, выпуклые и
=
.
Тогда существует гиперплоскость
,
отделяющая
и
.
Если
и
,
то
Доказательство:
Пусть
.
выпукло (Т.2, П.2.1).
.
,
что
(Т.3, П.2.3). Тогда
(2)
Пусть
.
Из
(2)
,
и при
(3) что означает
выполнение (1). Пусть
.
Тогда из
и (3) следует, что
,
а из
и (3) следует, что
ч.т.д.
Теорема
2.
Пусть
A,B
;
A,B
,выпуклые
замкнутые, одно из них ограничено и
A
B=
.
Тогда A
и B
строго отделимы. Если они оба ограничены,
то отделимость будет сильной.
Пусть
заданы матрица B
размерности s
n
и вектор
,
причем
.
Теорема
3 (Фаркаша).
Неравенство <y,x>
выполняется
,если
,
что
.
Доказательство:
Необходимость.
Пусть
<y,x>
.
Докажем, что
.
Пусть
Y-
замкнуто и выпукло (замкнутость следует
из непрерывности линейных функций). По
Т.2
,
что
(4)
.
Из (4) =>
,
и
.
Но
Значит
и
(5)
Т.к.
,
то
(6)
Положив
из (5) и (6) получаем противоречие условиям
теорем.
Достаточность.
Пусть
.
Тогда
.
ч.т.д.
-
Свойства выпуклых функций.
Опр.1.
,
где
выпуклое множество, называется выпуклой
на этом множестве, если
(1)
Замечание.
1)
Если в (1) при
равенство
выполняется только для
,
то f-строго
выпуклая.
2) f-вогнута, если – f - выпукла.
Теорема
1 (неравенство Иенсена).
Если
,
выпуклые, то
(2)
Доказательство (по индукции).
При
m
= 2 (2) следует из О.1. Пусть (2) справедливо
.
Пусть
.
Тогда
Пусть
.
Тогда
,
и
.
Теорема
2.
,
где
выпукло, является выпуклой
определенная формулой
,
является выпуклой.
Доказательство.
Необходимость.
f
– выпуклая на D.
Достаточность.
Пусть
пары точек из D
и
- выпуклая =>
Теорема
3.
Пусть
,
выпукла на D.
Тогда она непрерывна в
Теорема
4:
Если
выпуклые
на
то
выпуклая.
Доказательство:
Теорема
5:
Если
выпуклая на
то
выпукла.
Доказательство:
Замечание:
выпукла
, если g(x) выпукла.
Теорема
6:
Если
неубывающая и выпукла, а
выпукла на
то
выпукла.
Доказательство:
-
Критерии выпуклости функций.
Рассмотрим гладкие функции.
Теорема
1(Первый критерий):
где
выпукло,
является выпуклой функцией
.
Доказательство:
Необходимость:
-
выпукла на
и
и
применяя формулу
к
последнему неравенству имеем
Разделив
его на
и
устремив
получаем
.
Достаточность:
Пусть
Из исходного неравенства
Первое умножается на
,
второе на
и складываем их:
.
ч.т.д.
Теорема
2 (Второй критерий)
,
где
выпукло, является выпуклой функцией
.
Теорема
3 (критерий выпуклости дважды
дифференцируемой функции)
,
где
выпукло, является выпуклой функцией,
если
,
(1)
И
если
,
то это условие является необходимым.
Доказательство:
Необходимость:
Пусть
,
,
что
,
если
.
Из Т.2 и формулы
следует
(2).
Сокращая
(2) на
и
получим (1). Если
,
то т.к. в выпуклом множестве нет
изолированных точек
и
.
Переходя к
получим (1) для
.
Достаточность.
Пусть
и
.
Из (1) и формулы
следует
,
т.е. для
выполнены
условия Т.2.
ч.т.д.