3. Свойства выпуклых множеств.

Опр. 1. Множествоназывается выпуклым, если и

Теорема1. Пересечение любого количества выпуклых множеств выпукло.

Доказательство:

Пусть множество индексов, .А т.к. выпуклы, то и , т.е. оно выпукло.

Опр. 2. , называется алгебраической линейной комбинацией множеств

Теорема 2. Любая линейная комбинация конечного числа выпуклых множеств выпукла.

Доказательство:

Т.к. - выпуклы, то и .

Опр. 3. Точка , где называется выпуклой комбинацией точек

Теорема3. выпукло  D содержит все выпуклые комбинации любого конечного числа своих точек.

Доказательство.

Необходимость. Если D выпукло, то для двух точек утверждение справедливо. Пусть оно справедливо для точек, m>2 (доказательство по индукции). Пусть и <1 (для определенности). Тогда и выпуклая комбинация и . Но => .

Достаточность. Если содержит выпуклую комбинацию своих точек, то оно содержит и любые выпуклые комбинации двух точек, т.е. является выпуклым.

Замечание. Если фиксированы, а их выпуклые комбинации, то выпуклая комбинация точек является выпуклой комбинацией точек

4. Выпуклые оболочки.

Опр. 1. Пересечение всех выпуклых множеств, содержащих множество называется выпуклой оболочкой множества D (coD).

Замечание. coD минимальное выпуклое множество, содержащее D.

Теорема 1. coD состоит из тех и только тех точек, которые являются выпуклой комбинацией конечного числа точек из D.

Замечание. Выпуклая оболочка конечного числа точек на плоскости – выпуклый многоугольник, в пространстве – выпуклый многогранник.

Теорема 2. где , представима в виде выпуклой комбинации не более чем n+1 точки из D.

Доказательство.

Из Т.1. (1). Если , то число ненулевых слагаемых можно уменьшить. Рассмотрим в векторы i=1..m. Они линейно зависимы, т.к. m>n+1. ,что (2)

Из (1), (2) справедливо , а т.к. не все , а их сумма равна 0, то среди них есть строго положительные. Пусть , и . Тогда и точка x представляется в виде выпуклой комбинации меньшего, чем m числа точек из D.

Теорема 3. Замыкание и внутренность выпуклых множеств выпуклы.

Теорема 4. Если компактно, то и компактно.

Доказательство.

Из ограниченности D А т.к. - выпукло ограниченно. Пусть y – предельная точка и такое, что . По Т.2, п.2.2 и что Из ограниченности следует существование подпоследовательностей из последовательностей что и из замкнутости D . Перейдя к пределу при в соотношениях получаем

5. Проекция точки на множество.

Опр. 1. Проекцией точки на множество называется точка , что

Теорема 1. Для замкнутого множества и существует ее проекция на . Если выпукло, то проекция единственна.

Теорема 2. Для того, чтобы была проекцией x на выпуклое замкнутое множество выполнялось .

Теорема 3: Пусть - выпуклое множество. Тогда существует вектор , что , причем, если , то .

Замечание: Г - совокупность всех граничных точек множества . Геометрический смысл теоремы 3: через любую точку (выпуклому множеству) можно провести гиперплоскость, причем будет располагаться в одном из отвечающих ей полупространств. Если принадлежит границе , то гиперплоскость называется опорной, а ее нормальный вектор – опорным вектором к множеству в точке .