Фундаментальная матрица и формула Коши.

Рассмотрим однородное к уравнению (*) п.17.1 уравнение , (1).

Пусть система линейно независимых векторов-решений уравнения (1). Тогда матрица является неособой на и имеет обратную Матрицу назовем фундаментальной матрицей Коши. Отметим ряд ее свойств:

1) 2) 3) , т.е. столбцы являются линейной комбинацией столбцов Z(t) и являются решением для (1); 4)

Пусть - некоторое уравнение и отвечающее ему движение линейного управляемого фундаментального объекта ((*)п.17.1).

Теорема1 (Формула Коши). Справедливо равенство

(2)

Доказательство. Надо доказать два равенства:

.

Первое следует непосредственно из свойства 1) фундаментальной матрицы Коши, а второе доказывается путем непосредственного дифференцирования правой части равенства (2) по аргументу t:

.

Принцип Крейна.

Рассмотрим управляемую систему, движение которой описывается уравнением (*) п.17.1. Требуется перевести систему за время из состояния в так, чтобы в выполнялось x(t)=x(T) и имел место расход усилий на управление в количестве . Решение неоднозначного уравнения может быть записано как сумма общего решения однородного и частного неоднородного. Оно может быть записано в виде:

и при t=T

, или где , - фундаментальная матрица Коши. Исходная задача уравнения системой свелась к изопериметрической задаче вариационного исчисления: Найти вектор-функцию обеспечивающую при ограничениях Принцип относительности ее решения формулируется теоремой:

Теорема1 (Крейна). В пространстве U существует линейный функционал F(u), для которого выполняется условие и который имеет минимальную норму при условии для любых компонент вектора .

Доказано, что если в качестве критериального функционала принимается величина то оптимальная операция, выражающейся минимальной функцией удовлетворяет условию и тогда , где - множитель Лагранжа, - вектор-столбец.

Замечание. Математическое содержание задачи представляет собой известную проблему моментов.