Принцип максимума л. С. Понтрягина. Необходимые условия.

Рассмотрим автономную задачу оптимального управления с незакрепленным временем:

(1), , (2)

требуется минимизировать функционал путем выбора вектора допустимого управления . Для эффективного и сжатого формулирования необходимых условий оптимальности вектора параметров управления, рассмотрим сопряженную систему линейных дифференциальных уравнений первого порядка для дополнительных переменных (3)

и функция Гамильтона-Понтрягина задачи оптимального управления . Вектор - вектор сопряженных переменных. Необходимое условие оптимальности, известное как принцип максимума Понтрягина формулируются так:

Теорема 1. Чтобы вектор параметров управления и соответствующая траектория , описываемая формулами (1) и (2), были оптимальными, необходимо, чтобы существовало решение сопряженной системы (3) и константа такие, что и (4) для всех векторов в каждой точке оптимальной траектории , где - вектор параметров управления.

Замечание: Фраза «в каждой точке» подразумевает, что если кусочно-непрерывная, то условие (4) справедливо в точках непрерывности ; если ограничена и измерима, то (4) справедливо почти всюду.

Рассмотрим пример 1 из Л. 14. Сопряженная система будет иметь вид: . Решение её . Гамильтониан системы: . Т.к. , то из принципа максимума Понтрягина следует , если и , если . Как видно из предыдущего примера, переменную можно исключить из задач об оптимальном быстродействии. Заменим (4) условием: существует невырожденное решение . , что при неравенство (5) имеет место в каждой точке оптимальной траектории .

Для неавтономных задач с закрепленным временем непосредственно из принципа максимума следует, что должно существовать - решение системы (3), что для некоторой константы , , при в каждой точке оптимальной траектории . ( появляется благодаря введению новой переменной состояния ).

Рассмотрим пример 2 из Л. 14. Получаем и значит . Таким образом, , где . Данная функция достигает максимума при . При , , получаем следующую траекторию . Функционал .

Принцип Эйлера-Лагранжа и оптимальное управление

Сформулируем принцип оптимальности для динамических задач, представляющихся классическими задачами вариационного исчисления с ограничениями типа равенств и неравенств.

Пусть требуется найти (0) при ограничениях вида:

(1), (2)

(3) в пространстве , где - пространство непрерывных функций; - пространство дифференцируемых функций, - заданный конечный отрезок, ; - функция переменных;

- функция переменных; - функция переменных; - вектор-функция управления; - вектор-функция фазовой переменной; - управляющий процесс в задаче Лагранжа, если , , и всюду на выполнится дифференциальная связь, задаваемая (1); если же при этом выполняются ограничения (2), (3), то четверка - допустимый управляющий процесс.

Теорема Эйлера- Лагранжа Пусть - оптимальный (в слабом смысле) процесс и при этом функции и их частные производные по и непрерывны в некоторой окрестности множества , а , непрерывно дифференцируемы в окрестности точки . Тогда найдутся множители Лагранжа и не равные одновременно нулю и такие, что для функции Лагранжа выполнены условия: а) стационарности по , ; б) трансверсальности по , , , ;

в) стационарности по , ; г) стационарности по (для незакрепленных и ), ; д) не отрицательности (только при наличии ограничений неравенств) ; е) дополняющей нежесткости (только при наличии ограничений неравенств)

Замечание. 1)допустимый управляемый процесс называется оптимальным (в слабом смысле) процессом, или слабым минимумом в задаче (0), если существует такое , что для любого допустимого управляемого процесса , удовлетворяющего условию , выполнено неравенство .

2) - арифметическое n-мерное пространство, сопряженное к , - терминант.