Задача 1. Пусть - открытая внутренняя область; (точки множества обозначим ), - заданная функция; , - фиксирование точки, . Функцию назовем допустимой , если , , , . Каждой поставим в соответствие действительное число . Требуется определить min функционала I на множестве .

Задача 1 – простейшая вариационная задача.

Замечание: , множество всех определённых на функций, имеющих производные до r порядка включительно, которая допускает разрывы первого рода в конечном числе точек и имеет в них одностороннюю непрерывность.

Краткая запись задачи 1: , , .

Замечание2 Если в определить норму так:

1) , 2) , а расстояние

2)и 2) , то можно вести речь о сильном и слабом локальном минимуме.

Опр1 Локальный минимум в задаче1 сильный (слабый), если окрестность, фигурирующая в его определении задаётся с помощью расстояния нулевого () или (первого ()) порядка.

Теорема1(необходимые условия локального минимума 1 порядка). Пусть и доставляет локальный минимум в задаче1. Тогда .

Доказательство.

Функция - точка локального минимума для (из условия теоремы).

Из (Т.1,п.10.1) .

Уравнение Эйлера-Лагранжа

Лемма 1 (Дюбуа-Реймона) Для выполнения соотношения (1) при некоторой функции .

Лемма 2. Для выполнения соотношения (2) при некоторых - точки непрерывности функции .

Опр.1 Функция удовлетворяет интегро-дифференциальному уравнению Эйлера-Лагранжа, отвечающего основной функции , если . (3)

Теорема 1. Если достигает на локального (слабого) минимума и , то константа , что удовлетворяет интегро-дифференциальному уравнению Эйлера-Лагранжа.

Док-во:

Пусть Справедливость доказываемой теоремы вытекает из (Т 1, п. 10.2) и леммы2.

Замечание. Если в (3) , то (3) можно продифференцировать по : (4)

Опр.2 удовлетворяет дифференциальному уравнению Эйлера-Лагранжа (4), отвечающему , если эта функция обращает (4) в тождество.

Теорема 2. Пусть в задаче 1 достигает на локального (слабого) минимума и . Тогда удовлетворяет (4).

Теорема 2 является следствием теоремы 1.

Теорема 3 (Необходимые условия локального минимума 2 порядка). Если в задаче 1 , в существует вторая вариация функционала , а он сам достигает в нем локального минимума, то вторая вариация функционала в положительна на .

Док-во:

Справедливость Т3 следует из (утверждения 2) Т.1 п. 10.1) и того, что доставляет локальный минимум . Введем обозначения: для

Условия Лежандра и Якоби

Опр.1 удовлетворяет условию Лежандра, если и имеет место неравенство . (1)

Если (1) строгое, то удовлетворяет сильным условиям Лежандра.

Теорема 1. Если и достигает на локального (слабого) минимума, то удовлетворяет условию Лежандра.

Доказательство.

От противного приходим к точки и чисел , таких, что . Определим последовательность функций

Для всех справедливо . Вторая вариация функционала в вдоль

(2)

Из (2) (3) где и при правая часть (3) стремится к и для больших что противоречит [Т.3, п.10.3]. ч.т.д.

Опр.2 Функция удовлетворяет условию Якоби, если для нее выполнены сильное условие Лежандра и , где - решение дифференциального уравнения Якоби (4) с начальными условиями . Если кроме того , то будем говорить, что имеют место сильные условия Якоби.

Замечание. Если удовлетворяет сильным условиям Лежандра, то уравнение Эйлера-Лагранжа, связанное с функционалом называют дифференциальным уравнением Якоби, связанным с функционалом I и функцией у. Используя принятые выше обозначения оно имеет вид (4)

Теорема 2. Пусть , функция доставляет локальный минимум (слабый) функционалу I и для нее выполняются сильные условия Лежандра. Тогда удовлетворяет условиям Якоби.