Методы оптимизации. Ответы на вопросы.

1. Конечномерные экстремальные задачи без ограничений.

Постановка задачи: .

Опр.1 Пусть определена на . Она дифференцируема в точке , если вектор , для которого таких, что , имеет место равенство:

, где при .

Обозначения вектора (градиента):

Опр.2: непрерывно дифференцируема на множестве (3) D, если она определена на D и дифференцируема в каждой точке множества D и при

Опр.3: , определенная на , дважды непрерывно дифференцируема в точке х, если наряду с существует симметрическая матрица размерности nxn, что таких, что имеет место , где при ,

Опр.4: Еслиопределена на D и дважды дифференцируема в и при , то дважды непрерывно дифференцируема.

Обозначения: - множество непрерывно дифференцируемых функций, - множество дважды непрерывно дифференцируемых функций на D.

Необходимые условия локального минимума дифференцируемой функции:

Теорема 1: (Ферма) Пусть , существует окрестность точки , целиком содержащаяся в множестве D, и дифференцируема в точке . Тогда .

Док-во:

Из определения locmin следует существование окрестности , что . Из условия теоремы , что для всех будет справедливо . Из этого включения и условия вытекает

Тогда , что эквивалентно условиям

2. Конечномерные экстремальные задачи с ограничениями.

Постановка задачи: (1), где : , i = 1 s.

Положим

Опр.1 Функция вида называют функцией Лагранжа для (1).

Необходимые условия локального максимума формулируются теоремой:

Теорема 1 (Каруша-Джона): Пусть и точка локального минимума функции на . Тогда существует вектор такой что

1. , (условие стационарности);

2. (условие дополняющей нежесткости);

3. (условие неотрицательности);

4. , (условие нормировки).

С учетом ограничений равенств и условия нормировки количество неизвестных совпадает с количеством равенств в формулировке теоремы 1.

Достаточные условия локального минимума формулируются теоремой:

Теорема 2: Пусть Пара такова, что

1.

2.

3.

4. .

5. где

, а , .

Тогда является точкой локального минимума функции на множестве .

Замечание. Всякое равенство эквивалентно двум неравенствам и , а всякое неравенство эквивалентно равенству . Это позволяет свести задачу (1) к задаче с ограничениями типа неравенств:

, , (2)

либо к задаче с ограничениями равенствами:, (3)

Условия локального минимума в случае ограничений равенств () принимают вид:

Теорема : пусть на . Тогда вектор , что .

Теорема : Пусть . Пара удовлетворяет условиям:

1. ; 2. ;

3. ; 4. , .

Тогда - точка локального минимума на .

Опр.2: Локальный минимум для задачи с ограничениями типа равенств (точка ) называется регулярным, если набор векторов линейно независим.

Теорема 3: Пусть - точка регулярного локального минимума. Тогда в теореме в условиях нормировки можно сразу положить .

Док-во:

Пусть . Тогда справедливо равенство . Т.к. вектор , то не все равны 0. Это противоречит линейной независимости векторов . Таким образом и . ч.т.д.