6.8. Уравнения равновесия и движения твердого тела

Для свободного тела, которое может перемещаться в любом направлении условием равновесия является равенство нулю векторной суммы всех сил, приложенных к телу, т. е.

(6.13)

Если тело находится в состоянии равновесия, то при повороте его на бесконечно малый угол  потенциальная энергия не изменяется. Следовательно, элементарная работа , равная изменению потенциальной энергии, равна нулю. Тогда

 = ₁ + ₂ + … + _n.

или М₁ + М₂ + … + М_n.

или  = (М₁ + М₂ + … + М_n)  = 0, т. к.   0, то

М₁ + М₂ + … + М_n = 0. (6.14)

Тело, имеющее ось вращения, находится в состоянии равновесия, если алгебраическая сумма всех моментов сил относительно этой оси равна нулю.

Любое твердое тело является механической системой с шестью степенями свободы.

Для описания движения такого тела необходимо написать шесть независимых скалярных уравнений или два независимых векторных уравнения, т. е. уравнение движения центра инерции

(6.15)

и уравнение моментов

(6.16)

Замечание: Есть некоторые задачи, ответ которых оказывается неопределенным. Например: 1. задача о распределении веса абсолютно твердой балки между тремя опорами, на которых она лежит; 2. задача о равновесии стола, стоящего на горизонтальной плоскости.

Механические системы, подобные абсолютно твердой балке на трех опорах или идеально твердый стол с четырьмя ножками, стоящий на идеальной твердой горизонтальной поверхности, являются статически неопределенными системами, т. к. балку и стол нельзя в реальных условиях считать идеально твердыми.

6.9. Свободные оси вращения

Неподвижность осей вращения обеспечивается наличием опор на концах оси (вала) вращающихся тел  подшипников.

Рис. 6.6

Любое тело произвольной формы имеет три взаимно перпендикулярных оси, проходящих через центр масс, которые называют свободными осями, или главными осями инерции.

Для тел правильной геометрической формы (куб, шар и др.) легко указать эти оси (оси симметрии, рис. 6.6).Главной особенностью осей вращения тел является то, что в отсутствие момента внешних сил относительно центра масс тело может неограниченно долго вращаться вокруг свободных осей и, что важно, положение осей остается неизменным в пространстве с течением времени. Согласно теории гироскопов, вращение будет устойчивым относительно главных осей инерции только в отсутствие внешних сил, причем наиболее устойчивым будет относительно оси I с максимальным моментом инерции, и минимальным  относительно оси II.

Относительно оси III наблюдается промежуточное состояние.

Это наглядно можно демонстрировать на ряде опытов, например, вращение стержня (рис. 6.7).

Рис. 6.7

При этом имеется в виду, что геометрические оси и оси вращения совпадают.

Для быстро вращающихся тел (роторы центрифуг, турбин и т. д.) эти оси совместить невозможно, поэтому используют насадки на гибкий вал.

Тогда при вращении физическая и геометрическая оси будут сближаться, т. е. система автоматически центрируется.

Например, центровка катушек акустических систем динамиков, громкоговорителей (зазор между магнитной системой заполняется магнитной жидкостью  дисперсный порошок магнетита).

При включении напряжения катушка диффузора автоматически центрируется, что приводит к повышению качества звучания.