6.5. Момент инерции сплошного шара

Рис. 6.3

Сплошной однородный шар можно представить как сумму бесконечно тонких сферических слоев с массами dm = mdV/V (рис. 6.3). Объем сферического слоя dV представим в виде: dV = 4r²dr, где r – радиус сферического слоя. Объем шара V = 4/3R³, где R – радиус шара. Если шар полый, то момент инерции сферического слоя относительно его центра масс (точка С) ^I_c ^{= mR2, но ,} где из-за симметрии I_x = I_y = I_z. ^{Момент инерции сферического слоя относительно диаметра .}

Тогда момент инерции шара

6.5.1. Примеры моментов инерции некоторых тел

4. Тонкое кольцо радиусом R

и шириной d.

однородного состава относительно оси

3. Полый цилиндр с внутренним r и внешним R радиусами

.

2. Тонкое кольцо

радиуса R

1. Сплошной

цилиндр радиуса R

5. Тонкий параллелепипед

6.6. Работа, совершаемая телом

при вращательном движении

Если произвольная м. т. вращается по окружности и на нее действует сила (рис. 6.4), то при повороте на некоторый угол совершается элементарная работа

Рис. 6.4

А = F ds, где ds = r d.

Тогда А = (r F) d = M d. (6.8)

Полученное выражение остается справедливым и случае системы м.т. (твердых тел), совершающих вращательное движение относительно оси Z при  = сonst. В этом случае момент внутренних сил равен нулю и работа не совершается. Для нахождения полной работы необходимо вычислить интеграл:

, (6.9)

где  = ₂  _1.

Если действующая сила является потенциальной, то А =  dWp ,

где dWp  бесконечно малое изменение потенциальной энергии тела при повороте на малый угол dj, т. е.

dWp =  M_zd или M_{z =}  dWp/d .

6.7. Кинетическая энергия тела, совершающего

вращательное движение

Кинетическая энергия м. т. W_k = mv² / 2 . Тогда для системы м. т. или тела . Используя связь линейной скорости с угловой в видеv_i = r_i, получим . (6.10)

Замечание: При плоском движении тел (например, цилиндр скатывается по наклонной плоскости, рис. 6.5) полная скорость

, (6.11)

где С  центр инерции.

Полная кинетическая энергия тела равна сумме кинетической энергии поступательного движения его центра масс (центра инерции) и кинетической энергии вращательного движения тела относительно точки С, т. е.

. (6.12)

Замечание: При скатывании тела (без проскальзывания) на него действует сила трения покоя (рис. 6.5).

Рис. 6.5

Несмотря на наличие диссипативной силы (сила трения покоя) можно применять законы сохранения, так как сила трения покоя приложена к точкам (А) тела, которые лежат на мгновенной оси вращения. Скорость таких точек равна нулю. Поэтому сила трения сцепления работы не совершает и не влияет на величину полной кинетической энергии.Роль силы трения сцепления заключается в том, чтобы привести тело во вращательное движение для обеспечения чистого качения. При этом работа силы тяжести приводит к увеличению кинетической энергии как поступательного, так и вращательного движений.