После интегрирования (2.26) с учетом (2.27), получим
или
.
(2.28)
Выражение (2.28) называют уравнением адиабаты (уравнение Пуассона).
Используя уравнение Менделеева – Клапейрона, перепишем (2.28) в виде
Рис.
2.7
На рис. 2.7 видно, что кривая адиабаты идет круче, чем изотерма. Объясняется это тем, что при адиабатическом расширении идеального газа происходит не только уменьшение давления, но и понижение температуры, так как внутренняя энергия газа убывает. При адиабатическом сжатии газа растут давление и температура, не только из-за уменьшения объема, но и из-за увеличения внутренней энергии.
После интегрирования выражения (2.21) получим формулу работы идеального газа в адиабатическом процессе
.
(2.29)
Графически работа при адиабатическом процессе численно равна площади криволинейной трапеции (рис. 2.7, штрихованная часть графика).
Используя уравнение Майера (2.16) и формулу (2.27), получаем
.
(2.30)
Тогда работа
(2.31)
или
,
(2.32)
или
,
(2.33)
где Р1, V1, T1 , Р2, V2, T2 – давление, объем и температура идеального газа, соответственно в первом и втором состояниях.
2.9. Адиабатическое сжатие и расширение звуковых волн
Воспринимаемые нашими органами слуха звуковые волны при распространении сжимаются и расширяются почти адиабатически (квазиадиабатически), так как чередование сжатия и разрежения, при распространении звуковых волн, происходит очень быстро.
При сжатии газа его температура повышается до тех пор, пока теплота не начнет поступать наружу. Если же газ расширяется, то его температура понижается до тех пор, пока в систему не начнет поступать теплота извне.
В звуковой волне, воспринимаемой ухом, теплопроводность воздуха мала, а расстояние между соседними областями сжатия и расширения относительно велики (/2, где – длина волны). Все это происходит быстро, т. е. процесс адиабатический. Это используется при определении скорости распространения звука. Скорость звука
где
– модуль всестороннего сжатия (коэффициент
объемной упругости).
Дифференцируя уравнение Пуассона (10.28) по объему, получим
=
0,
т. е.
К = Р.
Следовательно, скорость звука
.
(2.34)
Для воздуха при нормальных условиях; = 1,4; = 1,29 кг/м3.
vзв 331 м/c, что хорошо согласуется с данными эксперимента.
2.10. Политропный процесс
Политропным называют процесс, который описывается уравнением
,
(2.35)
где n –показатель политропы.
Политропный процесс протекает при постоянной теплоемкости.
Найдем молярную теплоемкость Сn идеального газа в политропном процессе. Согласно первому началу термодинамики
(2.36)
Уравнение состояния одного моля идеального газа
PV = RT. (2.37)
Решив совместно (2.35) и (.37), получаем
. (2.38)
Дифференцируем
уравнение (2.38):
. (2.39)
Преобразуем последнее выражение к виду
.
(2.40)
Правую часть равенства (2.40) подставим в (2.36). Тогда
(2.41)
После
подстановки выражения
в формулу (2.41) окончательно получаем,
что теплоемкость политропного процесса
(2.42)
Политропный процесс является обобщением всех изопроцессов.
Замечание:
1. Изобарический процесс, Р = сonst.
В этом случае
уравнение политропы
принимает вид
,
так как показатель политропы n = 0, Cn
= Cp.
2. Изотермический процесс, Т = сonst.
При n = 1 уравнение политропы переходит в уравнение изотермы, т. е.
PV = сonst.
Теплоемкость при постоянной температуре согласно (2.42) Cn = CT = .
3. Изохорический процесс, V = сonst.
При n = уравнение политропы переходит в уравнение изохоры.
Теплоемкость при постоянном объеме
4. Адиабатический процесс, Q = сonst.
При n = уравнение политропы переходит в уравнение адиабаты, а теплоемкость
Cn = CQ = 0.
Найдем работу политропного процесса.
Рассмотрим два адиабатических состояния:
.
(2.43)