Цветков И. В. - Применение численных методов для моделирования процессов в плазме (2007)

двумя способами. Первый – берутся узлы, ближайшие к x из набора x0 ,.., xn . По второму способу, если x [x0 ; xn ] , то xi1, xi2 − ближайшие к x слева и справа, если

два узла.

Квадратичная интерполяция (m=3):

Узлы xi1, xi2 , xi3 могут выбираться также двумя способами. По первому способу – ближайшие три узла к x . По второму способу, если

просто ближайшие.

Если узлы располагаются равномерно, то чаще используется интерполяционный многочлен Ньютона.

Интерполяционный многочлен Ньютона

Для интерполяции используются конечные разности значений функции yi в узлах интерполирования. Интерполирующая функция имеет вид:

где h = xi+1 − xi . Интерполяционный многочлен Ньютона 2-го по-

где три узла выбираются ближайшими к x .

Приложение 2

Аппроксимация методом наименьших квадратов

При интерполяции интерполирующая функция в точках интерполирования принимает заданные значения. Но это не всегда оправдано, например, если эти значения были получены экспериментально и имеют большой случайный разброс вследствие погрешности измерений. Поэтому возникает так называемая «задача сглаживания» функциональной зависимости. Пусть даны n+1 пары значе-

ний (x0 , y0 ), (x1, y1 ),..., (xn , yn ) . Будем искать аппроксимирующую

функцию в виде многочлена степени m < n:

m

f (x) = a0 +a1x +a2 x2 +.. + am xm = ∑ak xk .

k =0

Коэффициенты ak определяем из условия, чтобы сумма квадратов разностей значений аппроксимирующей функции в точках xi и

m

S = ∑( yi −a0 −a1x −a2 x2 −... −am xm )2 , рассматривая эту функ-

i=0

цию как функцию коэффициентов ai . Для этого возьмем частные

производные и приравняем их к нулю. Получим систему m+1 уравнения:

m

−2∑( yi −a0 −a1x −a2 x2 −... −am xm )xik = 0 ,

i=0

82

где k = 0,1,..., m . Эту систему можно переписать в виде:

Это система m+1 линейных уравнений относительно неизвестных a0 , a1,..., am , численные методы решения которой рассмотрены выше. Разберем на примере аппроксимации некоторых значений степенной функцией f (t) = a tb . Перейдем к многочлену первой степени, так как необходимо найти два коэффициента a,b:

g(x) = ln f = ln a +b ln t = a0 + a1x ,

где a0 = ln a, a1 = v, x = ln t . Система для определения коэффициентов a0 , a1 имеет вид:

Решая систему, получаем:

и искомые коэффициенты b = a1, a = exp(a0 ) .

83

Игорь Владимирович Цветков

ПРИМЕНЕНИЕ ЧИСЛЕННЫХ МЕТОДОВ ДЛЯ МОДЕЛИРОВАНИЯ ПРОЦЕССОВ В ПЛАЗМЕ

Учебное пособие

Редактор Н.В. Шумакова

Подписано в печать 22.10.2007. Формат 60x80 1/16

Печ.л. 5.25. Уч.-изд.л. 5,25. Изд.№ 4/18

Тираж 200 экз. Заказ

Московский инженерно-физический институт (государственный университет), 115409, Москва, Каширское ш. 31

Типография издательства «Тровант», г. Троицк Московской обл.