99 Кавун - Программы и программные комплексы применяемые при проектировании ЯЭУ

31

Рассмотрим поле потока нейтронов на границе между ячейками с различными коэффициентами диффузии (рис. 3.4)

Запишем условие сшивки токов нейтронов на границе:

Выражение для "изображений" потоков по оси Z ( вдоль оси каналов) не применяется, т.к. функция коэффициента диффузии вдоль потока теплоносителя является непрерывной и дифференцируемой.

3.1.1.2Усреднение потока нейтронов

Вправой части уравнения переноса нейтронов при переходе к разностному выражению следует корректно учесть источник:

Ψ=νf1 Σf1 F1 + νf2 Σf2 F2

и сток нейтронов:

S= Σув F;

вдействительности в пределах шага разностной сетки справедливы выражения:

Вдоль оси канала имеет место монотонное изменение потока нейтронов, поэтому ошибкой, связанной с отличием среднего потока нейтронов от величины потока нейтронов в центре расчетного узла, можно пренебречь.

Межкассетное изменение потока нейтронов монотонной функцией не является, поэтому ошибка может достигать десятков процентов, что существенно влияет на корректность описания полей энерговыделения в активной зоне.

32

Для определения характера функции, в виде которой следует искать распределение потока нейтронов в пределах ячейки, рассмотрим задачу о двух соседних треугольных областях, принадлежащих соседним кассетам, контактирующих между собой, изолированных в азимутальном направлении и имеющих общий коэффициент размножения, равный единице (рис. 3.5).

Если предположить, что свойства Рис. 3.5 среды в пределах областей однородны, коэффициент диффузии в областях А и В

одинаков, то дифференциальные уравнения переноса нейтронов для областей будут иметь вид:

возможным. Однако достаточно хорошее приближение получится, если рассматривать диффузионный оператор ∆ в виде оператора для цилиндрических координат:

∂2 1 ∂

∆ = ∂R2 + R ∂R.

Решение системы уравнений будет в этом случае иметь вид (начало координат при данном приближении для каждой области расположено в вершине треугольника, и ось координат перпендикулярна границе и направлена от вершины к границе):

Fa(R) = A1J0(Rχ1); Fb(R) = A2I0(Rχ2) ,

где

J0 - функция Бесселя действительного аргумента, I0 - функция Бесселя мнимого аргумента.

Применение функций Бесселя при проведении усреднения потока в расчетной ячейке приведет к резкому снижению быстродействия программы, поэтому воспользуемся первыми двумя членами разложения функций Бесселя в ряд:

Решим обратную задачу, зная, что A1 = Fa(0), A2 = Fb(0). Тогда из условия равенства потоков нейтронов на границе областей следует, что:

Fa(0).(1-χ21R2)=Fb(0).(1+χ22R2);

из условия сшивки токов:

При интегрировании азимутальной зависимости потока нейтронов для всех шести секторов ячейки с хорошей степенью точности выполняется условие среднеарифметического усреднения потока нейтронов, полученного для каждой пары противоположных секторов. Окончательное выражение для среднего по ячейке потока нейтронов имеет вид:

Если же считать поток линейно меняющимся от кассеты к кассете (т.е. использовать для усреднения потока полином первого порядка), то получится следующее выражение:

В разработанной методике реализованы оба приближения и выбор одного из них определяется пользователем.

3.1.1.3 Сеточное уравнение

Сеточный шаблон по одной из осей координат имеет вид:

Заменяя оператор (D (F)) его разностным аналогом, будем считать, что шаг между центрами кассет - H, расстояние между узлами по высоте зоны - ∆Z.

В дальнейшем, чтобы не загромождать выкладки, при записи разностных схем будем ставить только индексы, отличные от i, j, k, l , например, вместо записи Fi, j. k+1, l будем

записывать Fk+1.

Используя выражение для "изображения" потоков в соседних узлах и заменив

34

получим разностное уравнение для внутреннего узла для быстрой (и аналогично для тепловой) группы:

2D * * * * * *

F = 3 (Fi+1+Fi - 1 +Fj+1 + Fj - 1+Fk+1 + Fk - 1)+(Fl+1 +Fl - 1) *

где:

_

F - средний поток в кассете;

Fn-1 - значение нейтронного потока на предыдущем шаге итерации;

3.1.2 Вывод разностных уравнений для граничных узлов

Уравнение кинетики для неразмножающей среды в двухгрупповом приближении имеет вид:

Решение уравнения для тепловой группы произведем методом вариации постоянной. Решение однородного уравнения имеет вид:

37

- немонотонность нейтронного потока по радиусу зоны.

Последнее утверждение следует уточнить. Дело в том, что для крупносеточного подхода член утечки (баклинг) нейтронов примерно на порядок меньше источника и, соответственно, стока нейтронов, а при практически неизменной (либо слабо меняющейся величине) баклинга нейтронов величина источника может изменяться в несколько раз, что связано с неоднородностью загрузки активной зоны по обогащению топлива, а также с различной величиной плотности теплоносителя (например, при запаривании соседней кассеты).

По указанным выше причинам замену дифференциального оператора разностным будем производить по двухточечному шаблону:

Расчетная схема представлена на рис. 3.7.

Рис. 3.7

Выразим производную по потоку в центре кассеты через граничное условие на границе кассеты:

выразим из имеющейся у нас системы уравнений этот коэффициент:

Подставив его в исходное выражение, получим разностное уравнение для граничного условия:

Данный подход реализован в программном комплексе “РАДУГА/RAINBOW-5”, аттестационный паспорт на программное средство №62 от 17.10.1996 [35].

3.2 Методика решения уравнения нейтронной кинетики с семью

расчетными узлами в поперечном сечении кассеты

Данный подход позволяет использовать все достоинства метода сеток при решении диффузионного уравнения в поперечном сечении кассеты.

Опыт эксплуатации программы показал, что в аксиальном направлении целесообразно применить для внутренних узлов метод изображения потока (формула 3.1), а для узлов на границе с торцевыми отражателями использовать тот же подход, что и для методики с одним расчетным узлом на кассету (формулы 3.8-3.11).

Поэтому вид разностного оператора в аксиальном направлении для узлов на границе с торцевым отражателем полностью аналогичен (формулы 3.8-3.11), а для внутренних узлов будет иметь следующий вид:

Формула для определения изображения потоков полностью аналогична (3.1). Расчетная схема представлена на рис. 3.8.

Рис. 3.8

Поскольку в пределах кассеты нейтронно-физические свойства среды однородны (в соответствии со способом подготовки нейтронно-физических сечений), существуют три различных по типу узла разностного уравнения:

-узел в центре кассеты (узел 1). Разностное уравнение в узле 1 аналогично уравнению для одноточечной разностной сетки. В отличие от одноточечной модели в данном приближении уравнение в узле 1 существенно проще, т.к. свойства среды в узлах 1,2,3,4,5,6

и7 одинаковы;

-узел на границе с отражателем (узлы 2, 3, 7 в нашем примере). Уравнение в данном узле аналогично граничному условию для торцевого отражателя;

-узел на границе между кассетами (узлы 4, 5, 6). Уравнение в данном узле аналогично уравнению для уравнения теплопроводности на границе узлов (2.23).

Для уменьшения громоздкости выкладок обозначим:

-источник нейтронов (как за счет деления, включая запаздывающие нейтроны, так и

за счет увода из верхней группы), деленный на коэффициент диффузии как Ψ ;

40

Полное конечно-разностное выражение для потока в узле “i” имеет вид:

3.2.3 Уравнение для узла между кассетами

Уравнение для узла на границе между кассетами получается путем сложения уравнений, полученных последовательно в узле справа и слева от границы.

Расчетная схема представлена на рис. 3.10.

Разностное выражение для производной имеет вид:

Произведя подстановку в разностное уравнение граничных условий сначала для левой, а затем для правой границы и сложив полученные уравнения по аналогии (3.1), получим окончательный вид разностного уравнения для узла на границе между кассетами: