Н.Берзон,Е.Буянова,М.Кожевников,А.Чаленко.Фондовый рынок.Учебник

Таким образом, за исключением специальных случаев, |р12| = 1, комбинационная кривая (рис. 11.4), соединяющая точки (σ1 , Е1) и (σ2, Е2), является выпуклой и лежит выше прямой, проходящей через эти точки.

11.1.3. Граница эффективности

Эта область может быть очерчена кривой, огибающей все полученные точки. Верхняя часть этой кривой называется грани-

цей эффективности (рис. 11.6).

Рис. 11.6. Граница эффективности

Понятно, что любой инвестор желал бы попасть именно на

и В, оказаться в точке С, над границей эффективности, что невозможно по определению.

Рис. 11.7. К вопросу о форме границы эффективности

11.1.4. Диверсификация

Выше было показано для случая двух ценных бумаг, что можно, комбинируя, достичь большей доходности при выбранном риске, чем если бы инвестор вложил все деньги в одну ценную бумагу.

Рассматривая N бумаг, мы получим:

образом, чем больше число акций в портфеле, тем меньше его вариация и, следовательно, риск. Первое слагаемое называется

уникальным риском; второе — систематическим риском и принци-

пиально не исчезает ни при каком составе портфеля. Увеличение числа акций в портфеле называется диверсификацией (рис. 11.8). Этот прием позволяет свести риск портфеля к систематической составляющей.

Рис. 11.8. Диверсификация

25 1014

Доказано эмпирически, что при N > 20 уникальный риск портфеля почти полностью исчезает.

Конечно, если инвестор выбирает такие пары бумаг, что

Pij ~ 1, то ∑ Pij может оказаться достаточно большой. Поэтому,

даже диверсифицированный портфель может быть «хорошо» или «плохо» диверсифицированным. Составление портфеля из акций фирмы, представляющих технологическую цепочку и, таким образом, сильно зависящих друг от друга, является хорошим примером «плохой» диверсификации.

11.1.5.Выбор портфеля. Теория рынка капитала

Каким же образом инвестор выбирает свой портфель (рис. 11.9)? Естественно желание попасть на границу эффективности и получить при заданном риске максимальную доходность. Риск же зависит от предпочтений инвестора.

Рис. 11.9. Выбор портфеля инвестором

Точка касания границы эффективности и одной из кривых безразличия инвестора и есть тот самый «его» портфель. Кривые безразличия в подавляющем большинстве случаев аппроксимируются параболой. Есть исследования с кривыми безразличия в виде

где k — параметр.

Мы, однако, последуем за Шарпом, как и большинство нынешних исследователей, и будем считать кривую безразличия обыкновенной параболой.

На рынке ценных бумаг обычно, кроме рискованных акций и облигаций, существуют безрисковые ценные бумаги, выпускаемые государством. Обозначим доход по этим бумагам rf . Если таких бумаг нет, инвестор может положить деньги в банк и иметь гарантированный минимальный доход. Риск такого вложения принимается равным нулю. Допустим, что и сам инвестор будет брать деньги в долг под такой же гарантированный процент. Рассмотрим рисунок 11.10. Прямая, проходящая через точку rf и касающаяся границы эффективности, называется прямой рынка капитала. Портфель в точке М называется рыночным портфелем. Покупая на часть своих средств безрисковые бумаги и вкладывая оставшуюся часть в рыночный портфель, инвестор оказывается на точке отрезка rfM, выше границы эффективности. Занимая средства под безрисковую ставку и вкладывая их вместе со своими в рыночный портфель, он находится на части прямой рыночного капитала правее точки М и снова выше границы эффективности. В какой именно точке прямой окажется инвестор, зависит от его рисковых предпочтений (рис. 11.11).

Рис. 11.10. Рыночный портфель

Рис. 11.11. Выбор величины займ-кредита

Теоретически можно, занимая деньги под безрисковую стайку и вкладывая их в рыночный портфель, достичь бесконечной доходности. Только риск при этом тоже бесконечен.

Таким образом, при наличии безрисковой ставки на рынке ценных бумаг возникает один выделенный портфель, называемый рыночным. Тогда же появляется еще один способ описания качеств рискованных ценных бумаг. Их сравнивают с параметрами рыночного портфеля. Вместо Ei и σi вводят величину βi связанную с первоначальными характеристиками рисковой ценной бумаги следующими соотношениями:

Ei −ri = βi (rm − rf ),

βi = ρσimmσi

где rт и σm — доходность и риск рыночного портфеля соответственно;

ρim — корреляция между i-той бумагой и рыночным портфелем в целом.

Величина rm — rf называется рыночной премией за риск, а выра-

жение rm −ri — ценой риска.

σm

Пусть инвестор купил портфель, состоящий из X1 безрисковых бумаг и X2 обыкновенных акций. Тогда

Ep = X1rf + X 2 E2 ,

σ p2 = X12σ12 + X 22σ22 +2ρ12σ1σ2 X1 X 2 = X 22σ22 , βp = X 2 β2.

Вообще, в отличие от вариации, коэффициент β аддитивен, что делает его очень удобным для оценки риска портфеля и целом:

βp = ∑ Xi βi i=1N

Прямая рынка капитала описывается уравнением:

E = rf + rmσ−mrf σ.

11.2. ЗАДАЧА ОПТИМИЗАЦИИ ПОРТФЕЛЯ

Для того чтобы составить эффективный портфель, необходимо найти точку касания границы эффективности с кривой безразличия инвестора (рис. 11.12). Предположим, инвестор намечает иметь в портфеле N определенных ценных бумаг. Ему необходимы характеристики этих бумаг, т.е. ожидаемые доходности Еi риск σi , и знать или вычислить коэффициенты кор-

Сij = ρijσiσj . В сумме необходимо найти N + N2 величин.

Далее, перейдем от системы координат (Е,σ ) к системе координат (Е, V), В наших осях парабола, характеризующая кривую безразличия инвестора, будет выглядеть прямой.

Рис. 11.12. Прямые рисковых предпочтений

Запишем уравнение для семейства прямых безразличия в

виде:

V =α +λE.

Здесь λ — наклон прямых, α — параметр. Стремясь достичь максимальной полезности, инвестор окажется на прямой с минимально возможным значением α. Следовательно, перед инвестором стоит задача найти такие Xi, при которых минимально

λEp +Vp ,

где

N

Ep = ∑Xi Ei ,

i=1

N N

Vp = ∑∑CiC jCij i=1 j=1

ная величина Xi означает, что ценные бумаги с соответствующими характеристиками нужно не покупать, а продавать. Будем искать решение для Хi в виде Xi = Кi + kiλ. Тогда, решив задачу однажды, можно, меняя рисковые предпочтения, подбирать нужный портфель (рис. 11.13). Например, инвестор хочет соз-

дать портфель из трех бумаг. В результате решения он получит

такую, например, картину:

Рис. 11.13. Пример портфеля

Выбрав цену риска, соответствующую λ*, инвестор получит эффективный портфель, отвечающий его готовности рисковать ради получения дохода. Тогда

Задача, подобная описанной, решается методом Лагранжа. Полагая, что читатель с этим методом знаком, приведем получающуюся в результате его применения систему линейных уравнений:

Эту систему необходимо решить дважды. Сначала принять λ = 0, тогда получится Ki , будет описан портфель с минимальной вариацией, а затем решить эту же систему, задав, например, λ = 1. Тогда получим ki ,и задача решена для любых X.

Рассмотрим пример. Пусть инвестор хочет создать портфель из трех акций, имеющих следующие характеристики:

—ожидаемые доходности — 20%, 30% и 40%;

—стандартные отклонения — 20%, 40% и 50% соответственно;

—коэффициенты корреляции —

ρ12 = 0,5; Ρ13 = 0,1; Ρ23 = -0,1.

Получим систему уравнений:

Приняв λ = 0 и решив систему уравнений, получим Кi. Положив λ = 1 и решив эту же систему уравнений второй раз, вычислим ki . В результате получим:

Х1 = 0,857 - 1,250λ, Х3 = 0,114 + 1,253λ.

Графически решение дано на рисунке 11.14.

Рис. 11.14. Решение основной задачи

Пусть на рынке есть безрисковые бумаги с Е1 = 10% и, конечно, σ1 = 0. Тогда, если составить портфель из безрисковой ценной бумаги и первых двух из предыдущего портфеля, получим систему уравнений: