Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Jack H.Integration and automation of manufacturing systems.2001.pdf
Скачиваний:
86
Добавлен:
23.08.2013
Размер:
3.84 Mб
Скачать

page 354

m = 6( n – 1) – 5j1 – 4j2 – 3j3 – 2j4 j5

where,

m= mobility of the mechanism (d.o.f.)

n= number of links

j1, j2, … = the number of joints with 1, 2, ... dof respectively

• Consider the number of degrees of freedom in the linkage below,

 

y

 

 

 

 

 

 

 

C

 

 

 

 

3”

 

 

 

 

D

A

 

B

 

40”

6”

 

E

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

10”

 

z

 

 

 

 

12.2 HOMOGENEOUS MATRICES

• This method still uses geometry to determine the position of the robot, but it is put into an

ordered method using matrices.

page 355

• Consider the planar robot below,

 

0.2m

 

1m

θ 2

TCP

(xT, yT)

1m (x1,y1)

θ 1

(xb, yb)

The basic approach to this method is,

1.On the base, each joint, and the tool of the robot, attach a reference frame (most often x- y-z). Note that the last point is labels ‘T’ for tool. This will be a convention that I will generally follow.

 

 

 

θ 2

 

 

y

 

y

F

T

 

 

 

 

 

 

 

F2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

 

 

 

xz

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

F1

 

z

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

T0, 1

z

T2, T

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

T1, 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

F0

y

θ 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2. Determine a transformation matrix to map between each frame. It is important to do this

page 356

by assuming the joints are in their 0 joint positions. Put the joint positions in as variables.

T0, 1 =

 

 

 

T1, 2 =

 

 

 

T2, T =

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 0 0 x

trans( ∆ x, ∆ y, ∆ z) = 0 1 0 y

0 0 1 z

0 0 0 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

0

 

0

 

0

rot( x, θ )

=

0

cos θ

sin θ

0

0

– sin θ

cos θ

0

 

 

 

 

0

0

 

0

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

cos θ 0 – sin θ 0

rot( y, θ ) =

 

0

1

0

 

0

 

 

sin θ

0

cos θ

0

 

 

 

0

0

0

 

1

 

 

cos θ

sin θ

 

 

 

 

 

0

0

rot( z, θ )

=

– sin θ

cos θ

0

0

 

0

 

0

1

0

 

 

 

 

 

 

 

0

 

0

0

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

page 357

ASIDE: The structure of these matrices describe the position (P) and orientation

of the x (N), y (O), z (A), axes.

 

 

 

 

 

 

y (O)

 

 

 

 

NX OX AX PX

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

NY OY AY PY

 

 

 

 

 

 

NZ OZ AZ PZ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

P

x (N)

 

 

 

0

0

0

1

 

z (A)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

cos θ

 

 

sin θ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

1

0

0

 

1

0

0

1

 

 

 

T0, 1

=

– sin θ

1

cos θ 1 0 0

 

0

1

0

0

 

= rot( z, θ

1) trans( 1, 0, 0)

 

 

 

 

 

0

 

 

0

 

1

0

 

0

0

1

0

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

0

 

0

1

 

0

0

0

1

 

 

 

 

 

 

 

cos θ

 

 

sin θ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

2

0

0

 

1

0

0

1

 

 

 

T1, 2

=

– sin θ

2

cos θ 2 0 0

 

0

1

0

0

 

= rot( z, θ

2) trans( 1, 0, 0)

 

 

 

 

 

0

 

 

0

 

1

0

 

0

0

1

0

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

0

 

0

1

 

0

0

0

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

0

0

0.2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

T2, T

=

0

1

0

 

0

 

 

= trans( 0.2, 0, 0)

 

 

0

0

1

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

0

0

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3. Multiply the frames to get a complete transformation matrix.

page 358

T0, T = T0, 1T1, 2T2, T

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

cos θ

1

sin θ

1

0 0

 

 

1 0 0 1

 

 

 

 

 

cos θ 2

sin θ 2 0 0

 

 

1 0 0 1

 

 

1 0 0 0.2

T0, T

=

 

– sin θ 1

cos θ 1 0 0

 

0 1 0 0

 

 

 

 

– sin θ

2

cos θ 2 0 0

 

 

0 1 0 0

 

 

0 1 0

0

 

 

 

 

0

 

0

 

1 0

 

 

0 0 1 0

 

 

 

 

 

 

0

 

 

0

1 0

 

 

 

0 0 1 0

 

 

0 0 1

0

 

 

 

 

0

 

0

 

0 1

 

 

0 0 0 1

 

 

 

 

 

 

0

 

 

0

0 1

 

 

 

0 0 0 1

 

 

0 0 0

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

cos θ

 

sin θ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

cos θ

 

sin θ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

1

0 0

 

 

1 0 0 1

 

 

 

 

 

2

2 0 0

 

 

 

1 0 0 1.2

 

 

 

 

T0, T

=

 

– sin θ

1

cos θ

1 0 0

 

 

0 1 0 0

 

 

 

 

– sin θ 2

cos θ 2 0 0

 

 

0 1 0

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

0

 

1 0

 

 

0 0 1 0

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

0

1 0

 

 

 

0 0 1

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

0

 

0 1

 

 

0 0 0 1

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

0

0 1

 

 

 

0 0 0

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

cos θ 1

sin θ 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

cos θ

 

 

sin θ

2 0 1.2 cos θ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0 0

 

1 0 0 1

 

 

 

 

 

2

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

T0, T

=

 

– sin θ

1

cos θ 1 0 0

 

0 1 0 0

 

 

 

 

– sin θ

2

cos θ

2 0 –1.2 sin θ

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

0

 

1 0

 

0 0 1 0

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

0

1

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

0

 

0 1

 

0 0 0 1

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

0

0

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

cos θ

1

sin θ

1

0 0

 

 

cos θ

2

 

 

 

sin θ

2

0

1.2 cos θ 2 + 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

T0, T

=

 

– sin θ

1

cos θ

1 0 0

 

 

– sin θ

2

 

 

cos θ

2 0

 

–1.2 sin θ 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

0

 

1 0

 

 

0

 

 

 

 

 

0

 

1

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

0

 

0 1

 

 

0

 

 

 

 

 

0

 

0

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

complete the multiplication

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

and simplify to get......

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Orientation

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Position

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

cos ( θ

1 + θ

2)

sin ( θ 1 + θ 2)

 

 

 

0 cos θ

1 + 1.2 cos ( θ

1 + θ 2)

 

 

 

 

 

 

 

 

T0, T =

 

– sin ( θ

1 + θ 2) cos ( θ 1 + θ 2)

0

sin θ

1 + 1.2 sin ( θ

1 + θ 2)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

• The position and orientation can be read directly from the homogenous transformation

matrix as indicated above.