Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Jack H.Integration and automation of manufacturing systems.2001.pdf
Скачиваний:
86
Добавлен:
23.08.2013
Размер:
3.84 Mб
Скачать

page 363

• We can find these angles given a set of axis before and after.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x0 =

1

x1 =

0.71

y0 =

 

 

 

y1 =

0

0.71

 

 

 

 

0

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

12.2.3 Inverse Kinematics

Basically we can find the joint angles for the robot based on the position of the end effector.

This is not a simple problem, and there are few reliable methods. This is partly caused by the non-unique nature of the problem. At best there are typically multiple, if not infinite numbers of equivalent solutions. The 2 dof robot seen before has two possible solutions.

We can do simple inverse kinematics with trigonometry.

If we have more complicated problems, we may try to solve the problem by examining the transform matrix,

page 364

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

cos ( θ 1 + θ

2)

 

sin ( θ

1 + θ

2) 0 cos θ

1 + 1.2 cos ( θ

1 + θ

2)

 

T0, T =

 

– sin ( θ

1 + θ 2)

 

cos ( θ

1 + θ

2)

0

 

sin θ

1 + 1.2 sin ( θ

1 + θ

2)

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

Separate positions and simplify,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

xT

=

cos θ 1 + 1.2 cos ( θ

1 + θ

2)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

xT

 

– cos θ 1

=

cosθ(

 

+ θ

2)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

-------------------------

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1.2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

yT

=

sin θ 1 + 1.2 sin ( θ

1 + θ

2)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

yT

– sin θ 1

=

sinθ(

 

+ θ

2)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

------------------------

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1.2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Combine the two to eliminate the compound angles,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 = ( cos ( θ

1

+ θ

2

) ) 2

+ ( sin ( θ

1

+ θ

2

) ) 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

=

xT

– cos θ

1 2

 

 

yT

– sin θ

1

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

-------------------------

+

------------------------

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1.2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1.2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1.44 = x2

– 2x

T

cos θ

1

+ ( cos θ

 

)

2 + y2

– 2y

T

sin θ

1

+ ( sin θ ) 2

 

 

 

 

 

 

 

T

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

T

 

 

 

 

 

1

 

 

 

( 0.44 – x2

x2)

 

= – 2x

T

cos θ

1

– 2y

T

sin θ

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

T

 

T

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0.44 – xT2 xT2

 

=

( xT cos θ

1 + yT sin θ 1)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

--------------------------------

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

–2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ETC.....

12.2.4 The Jacobian

page 365

• A matrix of partial derivatives that relate the velocity of the joints, to the velocity of the

tool.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

d

 

 

 

xT

xT

xT

 

 

d

 

 

 

 

d

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

T

 

--------

--------

--------

 

 

1

 

 

θ

dt

 

∂θ

1

∂θ

2

∂θ

3

 

dt

 

dt

----x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

----

θ

 

----

 

d

 

 

=

yT

yT

yT

 

 

d

θ

= J

 

d

θ

----y

 

--------

--------

--------

 

----

----

dt

T

 

∂θ

1

∂θ

2

∂θ

3

 

dt

2

 

dt

 

 

d

 

 

 

zT

zT

zT

 

 

d

θ

 

 

d

θ

----z

T

 

 

----

 

----

dt

 

--------

--------

--------

 

dt

3

 

dt

 

 

 

 

 

 

∂θ

1

∂θ

2

∂θ

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

• The inverse Jacobian is used for motion control

1

2

3

 

 

 

·

 

 

 

·

 

 

 

–1

xT

 

θ

1

J

·

 

=

·

 

 

 

yT

θ

2

 

 

·

 

 

·

 

 

 

 

zT

 

θ

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

• Find the Jacobian and inverse Jacobian for the 2 dof robot.

 

 

 

θ 2

 

 

y

 

y

F

T

 

 

 

 

 

 

 

F2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

 

 

 

xz

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

F1

 

z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

T0, 1

z

T2, T

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

T1, 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

F0

y

θ 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z