320
.pdfБелорусский национальный технический университет
Кафедра «Техническая физика»
Лаборатория оптики и атомной физики
Лабораторная работа № 320
«Изучение сериальных закономерностей в спектре атома водорода»
Минск 2012
Цель работы:
•Изучить сериальные зависимости в спектре атома водорода.
•Экспериментально измерить длины волн в серии Бальмера.
•Определить постоянную Ридберга, потенциал ионизации атома водорода.
Порядок подготовки и проведения работы:
I. Изучить и законспектировать в рабочую тетрадь следующие вопросы:
•Несостоятельность классической теории атома.
•Постулаты Бора. Атом водорода и его спектр по теории Бора (вывод формул). Затруднения теории Бора.
•Атом водорода в квантовой механике.
II. Изучить на рабочем месте в лаборатории сущность метода и
лабораторную установку.
III. Пользуясь указаниями, имеющимися на рабочем месте в лаборатории, выполнить работу, а полученные данные занести в таблицы протокола.
IV. Подготовить к зачету отчет о работе и знать ответы на следующие вопросы:
1. Постулаты Бора и их значение для развития атомной физики. Недостатки гипотезы Бора.
2.Атом водорода в квантовой механике.
3.Какие физические величины, характеризующие состояния атома, а также электронов в атоме, принимают дискретные значения?
4.Энергия и потенциал ионизации атома.
5.Какое состояние называют нормальным или основным? Какие стационарные состояния атома называют возбужденными?
6.Какими способами можно перенести атом из нормального состояния в возбужденное?
7.В какие серии сгруппированы линии спектра испускания атома водорода, и какой формулой они описываются?
8.Изобразите на энергетической схеме переходы электрона соответствующие излучению сериальных линий.
9.Укажите, какие значения могут принимать квантовые числа в формуле Балъмера для каждой серии.
10.Как устроен монохроматор? Изобразите его принципиальную схему.
11.Как определяют длины волн с помощью монохроматора?
Литература:
♦Трофимова Т.И. Курс физики. М., Высшая школа, 1985. стр. 308-314.
♦Матвеев А.Н. Атомная физика. М., Высшая школа, 1989. §14, 30.
♦Шпольский Э. В. Атомная физика. М., Наука, 1974. т.1 гл. 7-8, т.2 §57-59.
1. Краткая теория атома водорода.
1.1.Сериальные закономерности в спектрах атомов.
Одна из важнейших закономерностей строения атомных спектров - их сериальная структура. Линии линейчатого спектра атомов газа, находящегося при низком давлении, могут быть объединены в определенные, закономерно построенные группы - серии. Наиболее простой спектр имеет атом водорода. Длины волн его спектральных линий определяются сериальной формулой Бальмера - Ритца:
1 |
= R( |
1 |
− |
1 |
) , (1) |
|
n2 |
m2 |
|||
λnm |
|
|
где λnm - длина волны спектральной линии; R - постоянная Ридберга; n - номер
энергетического уровня, на который совершается переход электрона после излучения; m - номер уровня, с которого переходит электрон при излучении атомом энергии.
Положение линии в атомных спектрах может быть объяснено только на основе квантовых представлений. Решение задачи об энергетических уровнях электрона для атома водорода (а также водородоподобных систем: ион гелия
He+ , двукратно ионизированный литий и др.) сводится к задаче о движении электрона в кулоновском поле ядра.
1.2.Расчет атома водорода с точки зрения теории Бора.
В основе расчета лежат два постулата Бора и классический закон движения Ньютона.
Первый постулат Бора:
Электрон в атоме может вращаться только по строго определенным стационарным орбитам, радиусы которых определяются из условия
pn = meυnrn = n 2hπ = nh, (2)
где pn - момент импульса электрона на n -ой орбите; n - главное квантовое число, принимающее положительные целые значения 1,2,...,∞ и определяющее принадлежность электрона к той или иной орбите; h = 6,63 10−34 Дж·с - постоянная Планка. Все другие орбиты "запрещены". Таким образом, Бор постулировал, что энергия электрона в атоме может принимать строго определенные дискретные значения E1, E2 , ...., En .
Второй постулат Бора:
Вращаясь по стационарным орбитам, электрон не излучает и не поглощает электромагнитных волн. Излучение происходит лишь при переходе электрона из стационарного состояния с большим значением энергии Ek в другое
стационарное состояние с меньшим значением энергии Ei . При этом
излучается квант энергии (фотон) строго определенной частоты. Излучение атома монохроматично, и частота определяется фундаментальным соотношением (условие частот Бора)
ν = Ek − Ei . (3) h
Из соотношения (5) следует, что излучение происходит при переходе электрона с внешних орбит на внутренние. Если же электрон переходит с внутренних орбит на внешние, то энергия поглощается.
2-ой закон Ньютона:
Атом водорода и сходные с ним ионы (модель водородоподобного атома) состоят из ядра с зарядом + Ze и одного электрона с зарядом − e где Z - порядковый номер элемента в периодической системе элементов Д.И.Менделеева.
Кулоновская сила взаимодействия между ядром и электроном играет роль центростремительной силы, равной для круговой орбиты
Ze2 |
|
m υ |
2 |
|
|
|
|
= |
e n |
|
, (4) |
4πε |
r 2 |
rn |
|
||
|
|
|
|||
|
o n |
|
|
|
|
где me - масса электрона, rn - радиус орбиты,υn - скорость электрона на орбите.
Совместное решение (2) и (4) дает для радиусов стационарных орбит и скоростей электрона на этих орбитах следующие выражения:
rn = πh2εo 2 n2 , me Ze
υn = |
Ze2 |
|
1 |
. |
2εoh |
|
|||
|
|
n |
Зная υn и rn , можно найти кинетическую Ek и потенциальную Ep энергии электрона на n - ой орбите:
|
m υ |
2 |
|
1 m Z 2e4 |
1 |
|
|||
Ek = |
e n |
|
= |
|
|
e |
|
|
, |
2 |
|
2 4εo2h2 |
|
n2 |
|||||
|
|
|
|
|
Ep = − |
Ze2 |
= − |
Z 2e4m |
e |
1 |
. |
||
|
|
|
|
|
||||
4πε |
r |
4ε 2h2 |
|
|
n2 |
|||
|
|
o n |
|
o |
|
|
|
|
Полная энергия En электрона в атоме водорода:
|
1 m Z 2e4 |
1 |
|
|||
En = Ek + Ep = − |
|
|
e |
|
|
. (5) |
2 4εo2h2 |
|
n2 |
||||
|
|
|
Спектральные линии возникают при переходе электронов с одного уровня на другой (более низкий), а энергия, испускаемая квантом, равна разности энергий этих двух уровней:
|
|
|
|
|
m Z 2e |
4 |
( |
1 |
|
|
1 |
|
|
||||
hν mn = Em − En = |
|
e |
|
|
|
− |
|
|
) . (6) |
||||||||
8εo2 h2 |
|
n2 |
m2 |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Так как, по определению ν mn = c / λmn , то из (6) следует, что длины волн |
|||||||||||||||||
спектральных линий атома |
водорода |
|
( Z = 1) |
|
описываются формулой, |
||||||||||||
аналогичной (1): |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
m e4 |
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
||||
|
|
= |
e |
|
( |
|
|
− |
|
|
) . |
(7) |
|||||
|
λmn |
8εo2 h3c |
n2 |
m2 |
|||||||||||||
Сравнивая (1) и (7), можно вычислить постоянную Ридберга: |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
m e4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
R = |
|
|
e |
. |
(8) |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
8εo2h3c |
|
|
|
|
|
|
На рис.1. изображены уровни энергии атома водорода, а стрелками обозначены переходы между уровнями, соответствующие спектральным линиям. Из рисунка видно, что линии в спектре водорода можно разложить по сериям: для всех линий серии, значение n остается постоянным, а m может принимать значения любые от m = n + 1 до m = ∞ .
В спектр испускания атома водорода входит несколько серий, расположенных в различных областях спектра:
а) серия Лаймана - крайняя ультрафиолетовая область
1 |
= R( |
1 |
− |
1 |
) , |
λ |
2 |
2 |
|||
1 |
|
m |
|||
1m |
|
|
|
|
|
где n =1, m = 2,3,...,∞ ;
б) серия Бальмера - видимая и близкая ультрафиолетовая области
1 |
= R( |
1 |
− |
1 |
) , |
|
λ2m |
22 |
m2 |
||||
|
|
|
где n = 2 , m = 3,4,...,∞ ;
в) серия Пашена - инфракрасная область спектра
1 |
= R( |
1 |
− |
1 |
) , |
|
λ |
32 |
m2 |
||||
|
|
|
||||
3m |
|
|
|
|
|
где n = 3 , m = 4,5,..., ∞ ;
г) серия Брэккета - инфракрасная область спектра
1 |
= R/ ( |
1 |
− |
1 |
) , |
|
λ4m |
42 |
m2 |
||||
|
|
|
где n = 4 , m = 5,6,...,∞ ;
д) серия Пфунда - дальняя инфракрасная область спектра
1 |
= R/ ( |
1 |
− |
1 |
) |
|
λ |
52 |
m2 |
||||
|
|
|
||||
5m |
|
|
|
|
|
где n = 5 , m = 6,7,..., ∞ .
Как видно из рисунка, головным линиями каждой серии являются линии, длины волн которых могут быть рассчитаны по формуле:
1 |
= R( |
1 |
− |
1 |
|
) . (9) |
|
λnm |
n2 |
(n + |
1)2 |
||||
|
|
|
Переходы, обозначенные жирными линиями, соответствуют головным линиям серии и определяются формулой (9). Переходы на заштрихованные уровни соответствуют границе серии и определяются формулой (9), если в ней m = ∞ , т.е. их длины волн выразятся формулой
1 = R 1 . (10)
λmn n2
Особый интерес представляет определение границы серии Лаймана. Зная частоту граничной линии серии Лаймана, можно определить энергию, необходимую для отрыва электрона от атома водорода, находящегося в нормальном, или основном состоянии с n =1. Эта энергия называется энергией ионизации и вычисляется по формуле:
Eион = hcR . (11)
Следует отметить, что экспериментально найденное значение постоянной Ридберга отличается от теоретического значения, вычисленного по формуле (8), что видно из следующих данных:
Rтеор =109737,303см−1, Rэксп =109677,581см−1.
Расхождение объясняется тем, что при выводе формулы (8) ядро атома водорода считалось неподвижным. В действительности же, ядро имеет конечную массу. С учетом этого, в результате взаимодействия вращающегося электрона с ядром (протоном) происходит движение обеих частиц вокруг общего центра инерции атома. В формулу для постоянной Ридберга вместо массы электрона me должна войти приведенная масса:
µ = me M , me + M
где M - масса ядра.
В настоящей работе изучается серия Бальмера. Для серии Бальмера n = 2 . Величина m для первых четырех линий этой серии принимает значения 3, 4, 5, 6. Эти линии обозначаются символами Hα , Hβ , Hγ , Hδ . Вычисление
постоянной Ридберга производится по формуле, которая следует из (1):
R = |
|
1 |
|
|
|
. (12) |
|
λ2m ( |
1 |
|
− |
1 |
) |
||
22 |
|
m2 |
|||||
|
|
|
|
|
|
1.3.Квантовомеханическая теория атома водорода.
Потенциальная энергия взаимодействия электрона с ядром, обладающим зарядом Ze (для атома водорода Z =1)
Ep = U (r) = − |
Ze2 |
, (13) |
|
4πεor |
|||
|
|
где r - расстояние между электроном и ядром, представлена жирной кривой на рис.2.
Рис. 2.
Состояние электрона в атоме водорода описывается волновой функцией ψ , удовлетворяющей стационарному уравнению Шредингера, учитывающем значение (13):
|
2m |
Ze2 |
|
|
|
∆ψ + |
e |
(E + |
|
)ψ = 0 |
, (14) |
|
4πεor |
||||
|
h2 |
|
|
где E - полная энергия электрона в атоме. Так как поле, в котором движется электрон, является центрально - симметричным, то для решения уравнения (14) обычно используют сферическую систему координат r, θ, ϕ . Не вдаваясь в
математическое решение этой задачи, рассмотрим важнейшие результаты, которые из него следуют, пояснив их физический смысл.
В теории дифференциальных уравнений доказывается, что уравнение типа (14) имеет решения, удовлетворяющие требованиям однозначности, конечности и непрерывности волновой функции ψ , только при собственных значениях энергии
|
1 |
|
m Z 2e4 |
|
En = − |
|
|
e |
, n =1,2,3... (15) |
n2 |
|
8εo2 h2 |
||
|
|
|
т.е. для дискретного набора отрицательных значений энергии. Возможные значения E1, E2 , E3 показаны на рис. 2. в виде горизонтальных прямых. Самый
нижний уровень E1, отвечающий возможной минимальной энергии, - основной, все остальные ( E2 , E3 и т.д.) - возбужденные. При E < 0 движение электрона
является связанным - он находится внутри гиперболической потенциальной ямы. Из рисунка следует, что по мере роста n энергетические уровни располагаются теснее, и при n = ∞ E∞ =0 . При E > 0 движение электрона
является свободным - он может уйти в бесконечность: область непрерывного спектра E > 0 (заштрихована на рис. 2.) соответствует ионизированному атому. Энергия ионизации атома равна
Ei = −E1 = mee4 =13,55 эВ. (16)
8εo2h2
Выражение (15) совпадает с формулой, полученной Бором для энергии атома водорода. Однако если Бору пришлось вводить дополнительные гипотезы (постулаты), то в квантовой механике дискретные значения энергии, являясь следствием самой теории, вытекают непосредственно из решения уравнения Шредингера.
В квантовой механике доказывается, что уравнению Шредингера (14) удовлетворяют собственные функции ψ n,l,ml , определяемые тремя квантовыми
числами: главным n , орбитальным l и магнитным ml .
Главное квантовое число n , согласно (15), определяет энергетические уровни электрона в атоме и может принять любые целочисленные значения, начиная с единицы: n =1,2,3....
Из решения уравнения Шредингера вытекает, что момент импульса (механический орбитальный момент) электрона квантуется, т.е. не может быть произвольным, а принимает дискретные значения, определяемые формулой:
Ll = h l(l +1) , (17)
где l - орбитальное квантовое число, которое при заданном принимает значения l = 0,1,..., n −1т. е. всего n значений, и определяет момент импульса электрона в
атоме.
Из решения уравнения Шредингера также следует, что вектор момента импульса электрона может иметь лишь такие ориентации в пространстве, при которых его проекция Llz на направление z внешнего магнитного поля
принимает квантовые значения, кратные h:
Llz = ml h, (18)
где ml - магнитное квантовое число, которое при заданном может принимать
значения |
− l, − l + 1, |
... 0, 1, |
... l −1, |
l т.е. всего 2l + 1значений. Таким |
образом, |
магнитное |
квантовое |
число ml |
определяет проекцию момента |
импульса электрона на заданное направление, причем вектор момента импульса электрона в атоме может иметь в пространстве 2l + 1 ориентации.
Хотя энергия электрона в атоме водорода (15) и зависит от главного квантового числа n , но каждому собственному значению (кроме E1) соответствует
несколько собственных функций ψ n,l,ml , отличающихся значениями l и ml .
Следовательно, атом водорода может иметь одно и то же значение энергии, находясь в нескольких различных состояниях. Так как при данном n орбитальному квантовому числу l соответствует 2l + 1различных значений ml ,
то число различных состояний, соответствующих данному n , равно:
n−1
∑(2l + 1) = n2 . (19)
l=0
Электрон в атоме водорода вследствие своих волновых свойств может быть обнаружен в любой его точке, но с различной вероятностью, которая устанавливается путем вычисления модуля соответствующей волновой