М_Сухая, Бубнов. Задачи по высш. матем-ке Ч
.1.pdfГрафик данной функции изображен на рис. 3.12.
2.Провести полное исследование функции у — 8х/(х —
—2f и построить ее график.
х
Р и с . 3.12
Реш ение. 1. Область определения функции — ось
Ох, за исключением точки х = 2, т. е. D(/):(-oo; 2) U U(2; + °о).
2.Так как D(f) не является симметричным множест
вом относительно начала координат, то данная функция
не является четной, нечетной, периодической.
3.Найдем пределы функции при х, стремящемся к концам промежутков области определения:
8х |
8 |
lim f(x) |
=■сю. |
*-*2+0 |
|
Так как при х = 2 функция имеет точку разрыва второ го рода, то х = 2 — вертикальная асимптота.
Для нахождения наклонных асимптот вычислим пре
делы:
k = lim Ж = lim 8х _■,» = lim — ^ = - 0.
3.204. у = х — I + ”~ Т ' |
( ° твет: |
D({):(-oo-, |
l)U |
||
U(l; |
+ 00); дг = 1, у — x — I •— асимптоты; |
(0, —2) — |
|||
точка |
максимума; (2, 2) — точка минимума; |
интервалы: |
|||
возрастания ( — 00; 0)(J(2; -+-00), убывания (0; 1)U (1; 2), |
|||||
выпуклости (— 00; 1), вогнутости (1; |
+ 00); точек |
пере |
|||
гиба |
нет.) |
|
|
|
|
3.205. у = (4х— \2)/(х — 2)г. (Ответ: D{f): ( - 00; 2)U |
|||||
U(2; |
+ 00); (4, I) — точка |
максимума, (5 , 8/9) — |
точка |
||
перегиба; х = 2, у — 0 — асимптоты.) |
|
|
|
3.9. ВЕКТОРНАЯ ФУНКЦИЯ СКАЛЯРНОГО АРГУМЕНТА И ЕЕ ПРОИЗВОДНАЯ. КРИВИЗНА КРИВОЙ.
КАСАТЕЛЬНАЯ К ПРОСТРАНСТВЕННОЙ КРИВОЙ.НОРМАЛЬНАЯ ПЛОСКОСТЬ
Если каждому значению действительной переменной t£ D a R поставлен в соответствие вектор т{/)6 R3, то говорят, что на множестве D задана вектор-функция действительной переменной r= r(().
Задание вектор-функиии г = г{/) равносильно заданию трех скаляр ных функций *(/), у{0. *(0 — координат вектора г = r(f):
+ 1/(01 +г(0к-
Годографом вектор-функции т{() называется множество точек, являющихся концамн всех векторов гit), которые приложены к началу хоордннат (радиусов-векторов). Параметрические уравнения годографа
имеют вид *=*(<), у — у(1), г = г(() (рис. 3.15) |
пределом |
||||
Постоянный |
вектор |
г0 = Jt»i + Уо] + гок |
называется |
||
вектор-функции |
г(I) при |
(обозначается |
lrnir(/) = rn), |
если для |
|
любого г >• 0 существует Й(е), такое, что |
нз |
t’+tb |
|
||
неравенства К — i o i c b |
|||||
следует неравенство |г(() — г<>| < е. Для |
того |
чтобы lim r(/) = ro, не- |
обходимо и достаточно выполнение условий:
lim * (() = л», lim у(1) = №>■ l*m 2(1) = гл.
0
Р и с |
3.15 |
10-1699 |
289 |