Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

216

.pdf
Скачиваний:
16
Добавлен:
31.05.2015
Размер:
268.85 Кб
Скачать

БЕЛОРУССКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

Кафедра «Техническая физика»

Лаборатория электричества и магнетизма

Лабораторная работа № 216

ИЗУЧЕНИЕ ИНДУКТИВНОСТИ И ВЗАИМНОЙ ИНДУКТИВНОСТИ В ЭЛЕКТРИЧЕСКОЙ ЦЕПИ

Составители: О.И. Авсиевич, Н.Ф. Галякевич, Л.Н. Смурага

Минск 2008

1

Цель работы:

Изучить явления самоиндукции и взаимной индукции в электрической цепи;

Научиться измерять индуктивность методом моста переменного тока.

Задачи эксперимента:

Определить индуктивность катушки;

Измерить взаимную индуктивность двух катушек и определить коэффициент их связи К.

Контрольные вопросы:

1. В чем сущность явления самоиндукции, взаимной индукции?

2.Записать законы Фарадея для самоиндукции и взаимной индукции.

3.Какие факторы влияют на индуктивность?

4.Записать формулу для определения индуктивности длинного соленоида.

5.Физический смысл взаимной индуктивности.

6.Как влияет положение ферромагнитного стержня относительно катушки на его индуктивность?

7.По какому закону изменяются токи включения и отключения источника в цепи постоянного тока?

8.Какое сопротивление переменному току оказывает индуктивность цепи?

9.Сущность метода и принцип работы моста переменного тока.

Литература:

1. Савельев И.В. Курс общей физики, т. 2 – М.: Наука, 1977г.

2.Атабеков Г.А. Теоретические основы электроники, ч. 1 – М.: Энергия, 1970г.

3.Лабораторный практикум по физике, ч.2 (Электричество и магнетизм) – Мн.: БПИ,

1974г.

4.Матвеев А.Н. Электричество и магнетизм – М.: Высшая школа, 1983г.

2

Введение

• Слово «индукция» в переводе с латинского означает наведение, возбуждение. Закон электромагнитной индукции открыл в 1831 г. М.Фарадей, которого часто называют гением эксперимента. Он обнаружил, что в замкнутом контуре можно создать электродвижущую силу (э. д. с.) тремя способами: двигая провод относительно магнита, двигая магнит относительно провода или меняя ток в соседнем проводе.

• Реальные электрические цепи обладают сопротивлением R, емкостью С и индуктивностью L. Эти элементы вызывают переходные процессы при коммутации токов (при включении и выключении).

Так, наличие емкости приводит к тому, что напряжение в цепи не может изменяться скачком. Индуктивность приводит к невозможности скачкообразного изменения тока. Наличие в цепи R, L и C элементов приводит в процессе переключений к затухающим колебаниям тока и напряжения.

Индуктивность и самоиндукция в электрической цепи

Ток в цепи создает в пространстве магнитное поле, индукция которого Br зависит от геометрического фактора, магнитных свойств среды и пропорциональна току I .

Следовательно, поток Ф вектора Br через площадь, ограниченную токопроводящим контуром цепи, следует определить так

Ф = BndS ,

(1)

S

 

где Bn – проекция вектора Br на нормаль nr к поверхности dS ; S

– площадь, ограниченная

токопроводящим контуром цепи.

 

Этот поток пропорционален току I

 

Ф = LI ,

(2)

где L – коэффициент пропорциональности, зависящий от геометрии контура и относительной магнитной проницаемости среды .

Коэффициент L называют индуктивностью контура. Малой индуктивностью обладают цепи, в которых участки с токами, текущими в противоположных направлениях, максимально сближены. Большой индуктивностью обладают катушки, имеющие много витков провода, намотанных на сердечник материала из ферромагнитного материала. Если длина катушки значительно больше ее диаметра, а витки плотно уложены друг к другу, то такую катушку называют соленоидом. Пренебрегая искажениями магнитного поля на концах катушки, для полного магнитного потока Ψ через витки можно записать

Ψ = ,

3

где N – число витков соленоида, Ф– магнитный

поток через один

виток.

ВеличинуΨ называют потокосцеплением.

 

 

Индуктивность соленоида вычисляют по формуле

 

 

L = µµО

N 2 S

,

(3)

 

 

 

 

l

 

 

где µ0 – магнитная постоянная, - относительная магнитная проницаемость среды,

S

площадь витка катушки, l – длина соленоида.

За единицу индуктивности принимают индуктивность такого контура, магнитный поток которого при токе в 1 Ампер равен 1 Вебер. Эта единица индуктивности называется Генри

(1 Гн = 1Вб/1А).

При изменении тока в соленоиде будет изменяться и поток магнитной индукции через его витки. В результате изменения магнитного потока в соленоиде в последнем возникает э. д. с. Возникновение э. д. с. индукции в проводнике при изменении в нем тока называют самоиндукцией.

Согласно закону Фарадея, э. д. с. самоиндукции в проводнике εL равна

εL = − ddtФ = − dtd (LI ) = −(L dIdt + I dLdt ).

Если контур проводника не деформируется и магнитная проницаемость среды не изменяется, то L = const , тогда э. д. с. самоиндукции

εL = −L

di

.

(4)

 

 

dt

 

Из формулы (4) следует, что индуктивность численно равна э. д. с. самоиндукции, возникающей в проводнике при изменении в нем тока на 1 А за 1 с (т.е. 1 Гн = 1 В·с/А). Э.д.с. самоиндукции для соленоида

εL = − NddtФ .

Э.д.с. самоиндукции зависит от значения L и пропорциональна скорости изменения тока. Знак минус в формуле (4) обусловлен правилом Ленца. Это правило согласуется с физическим принципом Ле Шателье и указывает на то, что индукционный ток, возникающий при прохождении тока в цепи, имеет такое направление, при котором он препятствует изменению основного тока в цепи. (Ле Шателье сформулировал общий физический принцип: воздействие на систему стимулирует в данной системе процессы, препятствующие этому воздействию).

Действительно, если ток со временем возрастает, то dI / dt > 0 и εL < 0 , т.е. ток самоиндукции направлен навстречу току, обусловленному внешним источником, и тормозит его возрастание. При убывании основного тока dI / dt < 0 и εL > 0 , т.е. индукционный ток

имеет такое же направление, как и ток в контуре, и замедляет его убывание. Следовательно, контур, обладающий индуктивностью, имеет своеобразную электрическую инертность,

4

проявляющуюся в том, что любое изменение тока в контуре тормозится и тем больше, чем больше его индуктивность.

В электрических цепях постоянного тока э. д. с. самоиндукции наблюдают при замыкании и размыкании цепи. Токи, обусловленные самоиндукцией, называют экстратоками. После установления тока dI / dt = 0 , и поэтому εL = 0 .

Взаимная индуктивность

Рассмотрим два неподвижных контура (1 и 2 рис.1), расположенных близко друг от друга. Если в контуре 1 течет ток I1, то магнитный поток, создаваемый этим током, пронизывает

контур 2 (магнитное поле, создающее этот поток, изображено на рисунке 1 сплошными линиями)

Ф21 = М21I1 ,

(5)

Рис.1. К вопросу о взаимной индуктивности

где M21 – коэффициент пропорциональности, учитывающий геометрию формы и положение

контуров в пространстве.

Формула (5) справедлива как для постоянного тока, так и для переменного при условии, что I1 изменяется медленно.

При изменении тока I1, вследствие изменения магнитного потока Ф21 , в контуре 2 индуцируется э. д. с. взаимной индукции ε21 для случая, если контур неподвижен или не деформируется ( M 21 = const ).

 

ε

 

= −

21

 

= −M

 

 

dI1

.

(6)

 

 

dt

 

 

 

 

 

21

 

 

 

21 dt

 

ε21, в свою очередь, вызовет

в контуре 2

токI2 ,

который, как и I1, будет переменным. Ток

I2 создаст магнитный поток Ф12

(его поле изображено на рисунке 1 пунктиром),

который

пронизывает первый контур

Ф12

= М12 I2

 

и индуцирует э. д. с. ε12 в контуре 1,

равную

скорости изменения магнитного потока Ф12 , созданного током во втором контуре

5

ε12

= − 12

= −M12

dI2 .

(7)

 

dt

 

dt

 

Контуры 1 и 2 называют связанными.

Возникновение э. д. с. в одном из контуров при изменении тока в другом называют взаимной индукцией. Коэффициенты пропорциональности М21 и М12 называют взаимной

индуктивностью. Установлено, что М12 = М21 = М (теорема о взаимности), т.е. коэффициент

взаимной индукции двух контуров ( М ) равен магнитному потоку, сцепленному с одним из контуров, когда ток в другом контуре равен единице.

Взаимная индуктивность зависит от геометрической формы, размеров, взаимного расположения контуров и от магнитных свойств среды, окружающей контуры. Взаимная индуктивность измеряется в тех же единицах, что и индуктивность – Генри (Гн).

Из формулы (7) следует, что взаимная индуктивность двух контуров численно равна э. д. с. индукции, возникающей в одном из этих контуров, когда ток в другом контуре изменяется на единицу за единицу времени.

Кроме ε21 и ε12 , в контурах возникают э. д. с. самоиндукции, связанные с изменением

собственных магнитных потоков Ф11

и Ф22 , вызванные

токами I1 и I2 ;Ф11 = L1I1 и

Ф22 = L2 I2 .

 

 

 

 

 

 

 

Э. Д. С. самоиндукции соответственно в контурах 1 и 2 равны

 

ε11

= − 11

= −

 

d

 

(L1I1) = −L1 dI1

,

dt

 

dt

 

dt

 

ε22

= − 22

= −

d

(L2 I2 ) = −L2 dI2 .

dt

 

dt

 

 

dt

 

Суммарные э. д. с. соответственно в контурах 1 и 2 равны

ε1 = ε10 + ε11 + ε12 и ε2 = ε22 + ε21,

где ε10 - сторонняя э. д. с., действующая в контуре 1.

При L = const и M = const

ε21 = M .

ε11 L1

Если

взять соленоид с двумя обмотками, содержащими N1 и N2 витков соответственно, то

M

=

N2

или

ε21

=

N2

.

L

N

 

 

 

ε

11

 

N

1

 

1

 

1

 

 

 

 

 

При малых токах в обмотках величина

ε11 незначительно отличается отε10 , поэтому можно

считать, что

 

ε

21

 

ε

10

N2

. В этом

состоит принцип действия трансформаторов

 

 

 

 

N1

 

 

 

 

 

 

 

переменного тока.

6

Индуктивность в цепи постоянного тока, токи включения и выключения

Для описания процессов в цепи постоянного тока схематически ее изображают в виде цепи с сосредоточенными параметрами L, R, ε .

Рис. 2. К вопросу RLцепочки

 

При изменении тока в такой цепи кроме источника тока с э. д. с. ε

действует э. д. с.

самоиндукции

 

 

 

εi = −L dI .

 

 

dt

 

Этот процесс можно описать с помощью уравнения Кирхгофа

 

 

ε L dI = IR ,

(8)

 

dt

 

где ε – э. д. с. источника; L dI

- э. д. с. самоиндукции; IR – падение напряжения в цепи.

dt

 

 

Уравнение (8) является дифференциальным уравнением первого порядка, описывающее изменение тока в цепи. Разделив переменные, уравнение (8) можно записать в форме

dI

= dt

ε IR

L

Интегрируя это выражение и предполагая, что L = const , т.е. среда не ферромагнитная и контур не деформируемый, получим

I

dI

=

1

t

dt ;

1

I d (ε IR)

=

t

;

1

ln(ε IR) =

t

+ C

,

(9)

 

 

R

L

 

L

I 0

ε IR L

0

 

ε IR

 

 

 

R

 

 

 

 

 

 

 

 

I0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

7

где C – постоянная, которую

 

можно найти

из начальных условий при t = 0 , I = I0 .

Подставив эти значения в уравнение (9) получим

 

 

1

ln(ε I0 R) = C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

R

 

 

Подставив найденное значение C в (9), получим выражение

1

ln(ε IR) =

t

 

1

ln(ε I0 R) .

 

 

 

 

 

R

 

 

 

L

R

Это выражение преобразуем в форму

 

 

 

 

 

 

ln

ε IR

= − Rt

.

(10)

ε I0 R

 

 

L

 

 

Потенцируя (10), получим

 

 

 

 

 

 

 

ε IR

= е

Rt

 

 

 

 

L

 

 

 

ε I0 R

 

 

 

 

 

 

 

 

Из этого выражения следует закон изменения тока во времени при переходных режимах в цепи постоянного тока

I = I0e

Rt

ε

(1e

Rt

 

 

+

 

) .

(11)

L

L

R

 

 

 

 

 

 

 

Ток замыкания

При замыкании цепи начальный ток I0 = 0 , тогда из (11) следует

 

ε

(1e

Rt

 

I =

 

) .

(12)

L

R

 

 

 

 

 

Из (12) видно, что ток в цепи нарастает по экспоненциальному закону при включении источника. Скорость его нарастания определяется параметрами L, R, ε .

Ток размыкания

Полагаем при размыкании ε = 0 , тогда в соответствии с (11) изменение тока происходит по закону

I = I0e

Rt

.

(13)

L

8

Из (13) следует, что после отключения источника э. д. с. сила тока в цепи не обращается мгновенно в нуль, а убывает по экспоненциальному закону (кривая 1 рис.3). Скорость убывания тока определяется имеющей размерность времени, величиной

τ = RL , которую называют постоянной времени цепи, представляющая собой время, в

течение которого сила тока уменьшается в e раз. Из формулы для τ следует, что чем больше индуктивность цепи L и меньше ее сопротивление R , тем больше постоянная τ и тем медленнее спадает ток в цепи.

Рис. 3. Изменение силы тока в цепи, обладающей индуктивностью, в моменты выключения (кривая 1) и включения (кривая 2) источника э. д. с.

Формула (13) получена исходя из того, что цепь в момент отключения источника тока замыкается накоротко. Если просто разорвать цепь с большой индуктивностью, то возникающее высокое индуктивное напряжение (может значительно превысить э. д. с. источника тока) создает искру или дугу в месте разрыва. Эти разряды вызывают электрическую эрозию контактов. Для борьбы с этим нежелательным явлением контакты шунтируют конденсаторами, сами контакты изготавливают из тугоплавких композиционных материалов.

9

Индуктивность в цепи переменного тока

Рис.4. К вопросу индуктивности в цепи переменного тока

В этой цепи два источника э. д. с.:

ε1 = ε0 sin ωt ,

где

ε0

амплитуда переменного

напряжения, приложенного к клеммам,

и

ε2 = −L dI

-

э. д.

с.

самоиндукции в цепи.

 

 

dt

 

 

 

 

Уравнение Кирхгофа для этой цепи имеет вид

 

 

 

 

ε0 sin ωt L dI

= IR .

 

 

 

(14)

 

dt

 

 

 

 

 

(Сумма э. д. с. источников равна падению напряжения на омической нагрузке). Преобразовав выражение (14), получим дифференциальное уравнение, описывающее процессы в этой цепи

dI

+

IR

=

ε0

sin ωt .

(15)

dt

L

L

 

 

 

 

Этому уравнению должен удовлетворять установившийся переменный ток, определяемый уравнением

 

 

I = I0 sin(ωt +ϕ) ,

 

 

 

 

где I0 амплитуда тока; ω -

циклическая частота источника переменного напряжения; ϕ -

сдвиг фаз между током и переменным внешним напряжением. Найдя

dI = I ω cos(ωt +ϕ) и

 

 

 

 

 

 

 

dt

0

подставив в (15), получим

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

I = I

0

sin(ωt +ϕ) +

I0R

sin(ωt +ϕ) =

ε0

sin ωt .

 

(16)

 

 

 

 

 

L

L

 

 

Выражение (16) представим функциями простых тригонометрических аргументов

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]