Строительная механика учебник

rn1

rn2— rnn

Т

является м атри ц ей квадрати чн ой ф ормы .

Н

У

В скалярн ой ф орм е записи получим :

Б

U = 2 (r11 A"1 + r12 A 1 A 2 + — + r1n

A 1 A n +

й

(16.9)

1 n n

и

rj ‘ A iA j .

+ r21 A 2 A 1 + r22 A 2 + — + rnn A n

= ~ Ё E

р

2 i=1 j =1

F . У читы ­

П родиф ф еренцируем вы раж ение (16.6) по переменной

вая свойство

о

8

=

8 k i

(сим м етрия

взаи м н ости п е

ем ещ ен и й

м атрицы A ), получим :

d U

и

з

= 8ц F т+812F2 +813 F 3 + —+ 81„ F„ =A1.

dF1

J1 n r n ~ ^1 •

о

d U

п

В общ ем случае:

~d F

= A

(16.10)

еЭ то вы раж ен и е п редставляет зап и сь теорем ы К астилиано (1875):

производная от потенциальной энергии деформации по силе

Рравна перемещению точки

приложения этой

силы

по ее на­

dU

_

Л

л

л

_ 17

У

— — = гп A 1 + r12 A 2 + — + r1n

A n

= F 1 .

0A 1

Т

В общем случае:

dU = F i.

(16.11)

dA“

Полученное выражение представляет запись теоремыНЛагранжа:

в положении равновесия производная от потенциальной энер­

силе.

С энергетической точки з ения

явлениедеформирования тела -

16.4. Полная энергия

руемой системы

о

это процесс обмена энергиями двух систем сил (полей сил): внут­

ренних и внешних.

деформ

и

Поэтому для полной энерге ической характеристики тела в де­

формированном

сос оян

недостаточно

рассматривать только

энергию деформац

тU , . к. она представляет часть энергии взаи­

лько

модействующих полей с л.

Будем рассматривать только консервативные внешние силы. Работа

п

их зависит т зот начального и конечного состояния и не зави­

сит от

ути ерех да из одного положения в другое. К ним относят­

е

ся силы тяжести.

Р

Если

ринять энергию системы в начальном (недеформирован-

Э = U + П ,

(16.12)

где U - потенциальная энергия деформации (упругий потенци­

ал или, иначе, энергия сил упругости, потенциал внут­

ренних сил);

П —энергия внешних сил (потенциал внешних сил).

Внешние силы - это силы тяжести. При относительно малом из­

менении расстояния

между телами в

околоземном

пространстве

Н

гравитационные силы практически не изменяются. Поэтому силыУ

тяжести образуют однородное силовое поле, то есть поле, в кото­

Б

ром значение каждой силы постоянно, не зависит от перемещенийТ

точек их приложения. Их работа вычисляется как работа неизмен­

ных сил при переводе системы из данного положения в начальное.

й

Для центрально растянутого стержня (рис. 16.4)

П

и

= - F Аl

,

р

а для изогнутого стержня, нагруженного распределенной нагрузкой

(рис. 16.5):

о

l

т

П

= - J q (х) y (х) d x .

и

0

а)

з

б)

о

п

е

Р

Рис. 16.4

Рис. 16.5

1 l

l

У

Э = U + П = — J E J y "2 d x - J q(x) y d x .

2 0

0

Т

Как видно, величина Э

зависит от функции y (x ), то есть явля­

ется функционалом (функция от функции) Э = Э(y ) .

Для дискретной линейно-упругой системы потенциал внутрен­

них сил равен (см. формулу (16.9)):

Н

1

n

П

й

U = 2 x

x

^

j •

2 i=1j =1

Б

и

р

Заменяя обозначение обобщенного перемещения А на Z , получим:

о

n

n

1

U = 2 X

X

r Z Zj .

т

2 i.1 j =1

Потенциал

внешних

сил равен:

з

метода перемещений.

R iF = - F i ,

П

= - Z,F i Z i = Z RiF Zi , так как

п

i=1

i=1

- реакции в дополнительных связях основной системы

где

R iF

е

Тогда выражение для полной энергии системы представляет­

ся в вид :

Р

1 n

n

n

Э

= - z

z t j Z i Z j

+ x R i F Z i .

(16.13)

2 i=1j =1

i=1

понятия полной энергии Э .

Для растянутого стержня (рис. 16.4) u(x) является функцией,

определяющей продольные перемещения сечений;

u(x) - это ис­

тинные перемещения, при которых устанавливается равновесие

между внешними и внутренними силами.

У

В деформированном состоянии полная энергия стержня равна

работе внутренних и внешних сил на перемещениях (—u ): Т

Э (и) = U + П = —(А внутр + Wвнешн )-

Н

и

Сообщим точкам системы дополнительныеБбесконечно малые

перемещения Su = Su (x ); Su - это про звольная функция с беско­

Э ( + Su) = ~(Авну р + 8Авнутр+ Wвнешн +

внешн ) -

нечно малыми ординатами. Ее называютйвар ацией функции u(x ) .

В состоянии u + Su

о

авна:

энергия будет

т

вариацией

Э (ы), получим

Вычитая

из

выражение

последнего равенства

бесконечно малое

менение энергии

S 3 (первая

вариация энер­

о

функции S u :

гии), вызванн е

п

= ^

+ S u) —^ u) = ~{ЗАвнутр + SW внешн ).

е

S 3

Р

Для системы, находящейся в равновесии при перемещениях

(16.14)

Э то есть ф орм альн ая зап и сь принципа вариации перемещений

(п ри н ц ип а Л агранж а): из всех перемещений, допускаемых связя­

ми системы, истинные перемещения u (x ) обладают тем свойст­

вом, что полная энергия системы при этих перемещениях имеет

У

стационарное значение. Т акое свойство эн ерги и будет н аб лю дать ­

ся тогда, когд а о н а и м еет

экстрем альн ое зн ачен ие для и сти н н ы х

п ерем ещ ен и й по сравн ен и ю со всем и ближ айш им и.

Т

Н

Рассм отри м схем у, изображ ен н ую н а рис. 16.6.

Б

y (x ) Ук —k y

й

и

р

Рис. 16.6

о

П усть нам и вестнточна

ая ф ункция п роги бов y — y ( x ) о си бал ­

ки и соответствую щ ая ей эп ю р а и зги баю щ и х м ом ентов. Т огда п о л ­

и

н ая п отен ц и альн ая эн ерги я и зги ба балки зап и ш ется в виде:

з

о

F А —1 F A — F A

п

2

или

е

Р

Э —U (y )+ П —2 X I E J y"2dx —F А —2 FA —FA .

П ервы е слагаем ы

е в эти х вы раж ен и ях п реоб разовы ваю тся н а о с ­

н ован и и чи слен н ого

равен ства п отен ц и альн ой эн ерги и уп р у го й д е ­

ф орм ац и и и дей стви тельн ой р аб оты вн еш н и х сил.

И сследуем и зм енение п олн ой эн ерги и си стем ы в зави си м ости от

изм ен ен и я

(вариации) и зогн утой

оси

балки. У величим , наприм ер,

орди н аты п роги бов оси балки в к

раз. П олучим :

У

к 2

к 2

Т

Э = — E j E J у "2d x - k F А = — F A - k F A = F A

Б

Э н ерги я п ред ставлен а ф ун кц и ей второй степ ен и от

к . Граф иче-

Э

ская и ллю страц и я за в и с и м о с т и (к ) п о казан а н а рис. 16.7.Н

й

и

р

о

т

и

з

то

Рис. 16.7

п

есть в дей стви тельн ом состоян и и равн овеси я, и м е ­

П ри

к = 1 ,

т м сто

m in Э ( у ).

Р

рим ере м ож но бы ло

бы варьи ровать не у равн ен и е и зо ­

В этом

гн утой о си

балки, а соответствую щ ую ем у ф ункцию

изги баю щ и х

ем ом ентов, то есть н апряж енное состояние.

езультат вы числений, естественно, п олучи лся бы тем же.

П риведем второй пример. В дискретной линейно деф орм ируем ой

систем е

при

одн оп арам етри ческом

н агруж ен и и все

обобщ енны е

1

n

n

_ _

n

_

Э = - Z 2 E E ri j z i z j + z E R i F Z i ,

2

i=1j

=1

i=1

где

Z i, Z j

-

компоненты базисного вектора перемещений сис­

темы,

соответствующие

единичному

параметру

обобщенной нагрузки F .

Б

У

Так как для системы имеет место равенство

Т

n

n

n

Н

E E r j Z i Z j = - E R I F Z , ,

i=1j =1

i

й

=1

Л

2

и

то выражение для энергии можно представ ть в такой форме записи:

Э

р

Z 2

-

= Z--- Z ,

о

где

л = E E

rij

т

Z i Z j .

и

i=1 j=1

з

нимум в точке (1,0; -0,5).

Функция л

(Z )

меет м

о

Z

в к

раз. Тогда, учитывая, что для ко­

Увеличим перемещения

п

и Z фиксированы, и вы­

нечного значения нагрузки параметры F

е

ражая

U через действительную работу внешних сил, получим:

Р

к 2

n

n

_____

n

_

Э = — Z 2

E E

r j Z i Z j + k z

E RiF Zi

=

2

i=1j =1

i=1

2

1

F Z

- k F Z = F Z

Гк 2

>

= k

-

------

к

2

V 2

J

Э = jI Фф (у , у ', у - , . .. , у (к ))d x ,

то есть

услови е стац и он арн ости

З Э

= | З Ф d x = 0

своди тся

при

a

произвольном вы боре

ф ункции Зу

к ди ф ф ерен ц и альн ом у у р ав н е ­

нию Э й лера -Л агран ж а:

Н

У

d 2 ( дФ

дФ

d

d к Г дФ

Л

д у

+ -

+ ■■■+(- 1)к

d x к д у (к)

= 0 .

d x ^ д у 'у

v W У

Т

Б

В качестве п ри м ера покаж ем реш ение зад ач и об изгибе кон соль ­

ной балки на уп ругом ви н клеровском о сн ован и и (рис.

16.8).

q (x)

и

x

р

///т ш //////ш тй

о

E J (x)

У

и

p(x) =к (x)у (x)

з

Л

l

о

тРис. 16.8

О пределим п лную эн ерги ю взаи м одей ствую щ и х сил:

п

к

у -

d x = j Ф (у , у " ) d x .

е

Э

f /

2

Р

В этом случае:

дФ

д Ф

д Ф

= к у - q ,

^ т = 0

-Г= E J у " .

д у

д у

д у