МЕХАНИКА (1)

образования оси вращения достаточно закрепить какие-либо две

точки тела. В качестве примеров вращательного движения телУмож-

но привести движение дверей или створок окон при их открывании

или закрывании.

Т

Представим себе тело в виде цилиндра, ось AB которого лежит в

подшипниках (рис. 7.3).

Н

Б

й

и

р

Рис. 7.3. К анализу враща ельного движения твердого тела

о

Движением одной какой-либо точки однозначно определить

вращательное дв жентелае нельзя.

Для установлен я

акона вращательного движения тела, по кото-

рому м

и

пределять его положение в данный момент, проведем

через ось вращениязтела связанную только с нею неподвижную по-

углом поворота φ + φ. Следовательно, за время

t тело поверну-

лось на угол

φ, и величина

У

φ

ωср

Т

t

называется средней угловой скоростью.

Н

φ

dφ

Б

ω

lim ωср

lim

f (t).

t

dt

t 0

t 0

Единицей угловой скорости является 1 рад/с. Характеристикой

сти

быстроты изменения угловой скоро

служит угловое ускорение,

ω

обозначаемое

ε . Среднее ускорен е

ε й

;

ср

t

о

т

ω

dω

dφ2

=

f

(t) .

ε lim εср

limр

2

t

0

t

0

t

dt

d

t

з

Единица углового ускорения 1 рад/с2.

Условимся угол поворота, отсчитываемый против хода часовой

оа

стрелки, считать иположительным, а отсчитываемый по ходу часо-

п

вой стрелки –

трицательным.

е

б

Р

Т

(рис. 7.4, б).

Н

У

7.3. Частные случаи вращательного движения

1. Равномерное вращательное движение. Если угловое уско-

рение ε 0 и, следовательно, угловая скорость

dφ

й

ω =

= const , Б

(7.1)

dt

получим

(7.1) после разделения переменных

dφр= ω dt.

Если при

о

времени от 0 до t угол поворота изменялся

т

от φ0 (начальный угол поворота) до φ, то, интегрируя уравнение в

этих пределах:

изменени

φ

t

о

е

dφ ω

dt,

φ0

0

Р

получапм уравнение равномерного вращательного движения

φ φ0

ωt ,

которое в окончательном виде записывается так:

φ = φ0

ωt .

Если φ0

0 , то

φ = ωt .

Таким образом, при равномерном вращательном движении угло-

вая скорость

Если угловоеУ

ω =

φ

φ0

или при φ

0

ω

φ

.

t

0

t

2. Равнопеременное

вращательное

движение.

ускорение

Т

dω

ε =

= const,

Н

(7.2)

dt

то вращательное движение называется равнопеременным. Произво-

дя разделение переменных в выра

(7.2):

Б

й

dω = ε dt,

жении

и приняв, что при изменении в емени от 0 до t угловая скорость

р

изменилась от ω0 (начальная угл вая скорость) до ω , проинтегри-

руем уравнение в эт х пределахо:

т

ω

t

dω = ε dt

или

ω

ω

εt ,

и

0

ω0

0

з

т. . олучимоуравнение

п

ω

ω0

εt,

(7.3)

выражающеее

значение угловой скорости в любой момент времени.

Закон равнопеременного вращательного

движения dφ = ωdt

Р

или, с учетом уравнения (7.3):

dφ ω0dt

εt dt.

ся от φ0

до φ , проинтегрируем уравнение в этих пределах:

φ

t

t

εt

2

dφ = ω0

dt+ε

tdt,

или φ

φ0 ω0t

.

2

У

φ0

0

0

Уравнение равнопеременного вращательного движения в окон-

чательном виде

Т

εt2

φ φ0

ω0t

.

(7.4)

2

Первую вспомогательную формулу получим, исключив из фор-

мул (7.3) и (7.4) время:

й

Н

(ω2

ω2 )

Б

и

φ

φ

0

.

(7.5)

0

2ε

р0

ε , получим вто-

Исключив из тех же формул угловое ускорение

формулу

рую вспомогательную

:

φ

φ0

(ω

ω)t

,

(7.6)

2

где

(ω0

ω)

з0

угловая

скорость

при

равнопере-

0

2

ωcp

–тсредняя

о

менном вращательномидвижении.

п

Когда

φ

0 и ω 0 , формулы (7.3)–(7.6) приобретают более

простой вид:

ω

εt;

е

εt 2

Р

φ

2

;

φ

ω2

;

2ε

φ

ωt

.

2

симость между ω (с–1) и n (мин–1). Так как ω

φ

, то при n (мин–1)

t

У

за t = 1 мин = 60 с угол поворота φ 2πn . Следовательно:

2πn

πn

–1

Т

ω

.

Н

60

30

Б

При переходе от угловой скорости ω (с

) к частоте вращения n

(мин–1) имеем

й

30ω

n

.

и

π

р

7.4. Скорости и

ен я азл чных точек

уско

вращающегося тела

т

Определим скорос ь и уск рение любой точки в любой момент

цели

времени. Для этой

ус ановим зависимость между угловыми

з

величинами φ , ω

ε , характеризующими вращательное движение

что

тела, и линейными вел ч нами S , V , aτ , an и a , характеризую-

щими движение т чек тела.

п

Допустим,

тело, показанное на рис. 7.5, вращается по закону,

вернулось на угол φ, а точка А, двигаясь по окружности из некото-

описываемому уравнением

φ

f (t)

. Требуется определить ско-

рость

и ускорение a точки А этого тела,

расположенной на рас-

Р

стоянии ρ от оси вращения O. Пусть тело за некоторое время t по-

рого

начального

положения

A0 , переместилась на

расстояние

S A0 A. Так как угол φ выражается в радианах, то

S

ρφ,

(7.7)

dS

ρdφ

,

dt

dt

Н

dS

dφ

но

–

скорость точки, a

= ω

– угловая скоростьУтела,

dt

dt

Т

поэтому

ρω ,

(7.8)

й

т. е. скорость точки вращающегося тела пропорциональна его угло-

вой скорости.

и

Б

р

о

т

и

з

о

п

е

Р

Рис. 7.5. К определению скорости и ускорения точки

Из формулы (7.8) видно, что для точек, расположенных на оси

вращения,

ρ

0 и скорости этих точек также равны нулю. По мере

У

Т

Н

Б

й

и

р

о

т

и

Рис. 7.6. Распределен е скорос ей при вращательном движении твердого тела

Продифференц ровав обе части равенства (7.8), имеем

о

з

d

ρdω

е

,

dt

dt

dп

dω

но

aτ – касательное ускорение точки, a

= ε

– угловое

dt

dt

ускорение тела, значит

Р

aτ

ρε,

(7.9)

2

Подставив в формулу an

значение скорости из формулы

ρ

(7.8), получим

a

ρω2 ,

(7.10)

n

т. е. нормальное ускорение точки вращающегося тела пропорцио-