5.2. Функция распределения св и ее свойства
Функцией
распределения СВ
(интегральной функцией распределения)
называется функция
,
равная вероятности того, что СВХ
принимает значение меньшее х,
т. е.
.
Свойства функции распределения:
1) 
;
2) 
– неубывающая функция, т. е.
;
3) 
;
4) 
;
5) функция
распределения непрерывна слева:
;
6) если СВ
принимает значение хi
c
вероятностью рi,
то
;
7) если
СВ Х
является непрерывной, то
.
5.3. Плотность распределения вероятностей св
Плотностью
распределения СВ
(дифференциальной функцией распределения)
называется такая функция р(х),
что
.
Свойства плотности распределения:
1) 
;
2) 
;
3) 
;
4) 
.
Чтобы задать закон распределения непрерывной СВ необходимо задать или плотность распределения, или функцию распределения.
Пример 5.1. Партия изделий содержит 10 % нестандартных. Пусть СВ Х – число стандартных изделий в партии из пяти изделий. Требуется составить закон распределения СВ и записать функцию распределения.
Решение.
СВ Х
может принимать значения хk
= 0, 1, 2, 3, 4, 5.
Вероятность
найдем по формуле Бернулли:
.
По условию задачи
.
,
,
,
,
,
.
Запишем закон распределения СВ
|
хi |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
|
pi |
0,00001 |
0,00045 |
0,0081 |
0,0729 |
0,32805 |
0,59049 |
Найдем функцию распределения. По определению:
.
При
,
при
,
при
,
при
,
при
,
при
,
при
.
Окончательно
Пример 5.2. Непрерывная СВ задана плотностью распределения:
Требуется найти значение параметра с и записать функцию распределения.
Решение. Значение
параметра с
определим, используя свойство плотности
распределения:
.
.
Функцию распределения
определим из условия
.
Для
,
для
,
для
.
Значит,
Пример 5.3. Дана функция распределения СВ:
Нужно определить плотность распределения.
Решение. Плотность
распределения определим из свойства
плотности распределения:
.
6. Числовые характеристики св
К числовым характеристикам СВ относятся: математическое ожидание М(Х), дисперсия D(Х), среднее квадратическое отклонение (Х), начальные и центральные моменты и др.
6.1. Математическое ожидание и его свойства
Дискретная СВ
принимает значения
с вероятностями
.Математическим
ожиданием СВ
называется число М(Х),
которое определяется соотношением
.
Если
непрерывная СВ задана плотностью
распределения
,
то математическое ожидание определяется
интегралом
.
Математическое ожидание характеризует среднее значение СВ.
Свойства математического ожидания:
1) 
;
2) 
;
3) 
;
4) 
,
еслиСВ
X
и Y
независимы.
6.2. Дисперсия и ее свойства
Начальным моментом k-го порядка называется математическое ожидание СВ Хk.
Для дискретных случайных величин
.
Для непрерывных случайных величин
.
Центральным
моментом k-ого
порядка
называется математическое ожидание СВ
.
Для дискретных случайных величин:
.
Для непрерывных случайных величин:
.
Дисперсией называется центральный момент второго порядка:
.
Дисперсия характеризует степень разброса значений СВ относительно математического ожидания. Дисперсия СВ равна разности математического ожидания квадрата СВ и квадрата математического ожидания.
.
Свойства дисперсии:
1) 
;
2) 
;
3) 
;
4) 
,X,
Y
– независимые СВ.
Средним квадратическим отклонением СВ называется корень квадратный из дисперсии СВ:
.
Пример 6.1. Дискретная СВ задана законом распределения. Требуется найти М(Х), D(X), (X).
|
xi |
0 |
1 |
2 |
3 |
|
pi |
0,1 |
0,3 |
0,4 |
0,2 |
Решение.
,
,
,
.
Пример 6.2. Непрерывная СВ задана плотностью распределения:
Требуется вычислить М(Х), D(X), (X).
Решение.
,
,
,
.