Литература

1. Гмурман, В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика / В.Е. Гмурман. – М.: Высшая школа, 1997.

2. Микулик, Н.А. Теория вероятностей и математическая статистика / Н.А. Микулик, А.В. Метельский. – Минск: Пион, 2002.

3. Фигурин, В.В. Теория вероятностей и математическая статистика / В.В. Фигурин. – Минск: Новое знание, 2000.

4. Гмурман, В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике / В.Е. Гмурман. –М.: Высшая школа, 1997.

5. Гусак, А.А. Теория вероятностей: справочное пособие к решению задач / А.А. Гусак. – Минск: ТетраСистемс, 1999.

6. Микулик, Н.А. Решение задач с техническим содержанием по теории вероятностей, математической статистике и случайным процессом: справочное пособие / Н.А. Микулик [и др.]. – Минск: БНТУ, 1966.

7. Гайшун, Л.Н. Теория вероятностей / Л.Н. Гайшун, Г.К. Иг­натьева, О.А. Велько. – Минск: МПУ, 2002.

8. Минюк, С.А. Математика для инженеров: учебник: в 2 т. / С.А. Минюк [и др.]. – Минск: Элайда, 2006. – Т. 2.

Теоретический материал к контрольной работе

1. Элементы комбинаторики. Пространство элементарных событий. Определения вероятности

1.1. Элементы комбинаторики

Пусть дано множество, состоящее из n различных элементов .Перестановкой на множестве из n элементов называется всякое упорядоченное множество, состоящее из этих n элементов. Число перестановок на множестве из n элементов Р_n определяется по формуле .

Две различные перестановки состоят из одних и тех же элементов, но отличаются порядком следования элементов.

Пример 1.1. Имеется четыре вакантных должности и четыре претендента на эти должности. Сколькими способами можно заполнить эти должности?

Решение. Р₄ = 4! = 24.

Размещением на множестве из n элементов по m элементов называется любое упорядоченное подмножество, содержащее m элементов. Два размещения считаются различными, если они состоят из различных элементов, или состоят из одних и тех же элементов, но отличаются порядком следования элементов в наборе. Число размещений на множестве из n элементов по m элементов определяется формулой

Пример 1.2. Сколькими способами можно рассадить по 3 студента за стол в группе из 20 студентов?

Решение. .

Сочетанием на множестве из n элементов по m элементов называется всякое неупорядоченное подмножество, содержащее m элементов. Два различных сочетания отличаются хотя бы одним элементом. Число сочетаний на множестве из п элементов по т элементов определяется формулой .

Пример 1.3. В ящике 5 деталей. Сколькими способами из ящика можно взять 3 детали?

Решение. .

Классическое определение вероятности. Элементарным событием или исходом называется всякая возможная реализация эксперимента. Множество всех элементарных событий называется пространством элементарных событий. Любое подмножество пространства элементарных исходов называетсяслучайным событием. Исход _i благоприятствует событию А, если появление исхода _i влечет появление события А. Вероятность события характеризует степень объективной возможности наступления этого события. Вероятностью Р(А) события А называется отношение числа исходов, благоприятствующих появлению события А, к общему числу равновозможных исходов.

,

где п – общее число исходов;

т – число исходов, благоприятствующих появлению события А.

Пример 1.4. В группе 8 юношей и 5 девушек. Из группы случайным образом отбирается 5 студентов. Найти вероятность того, что среди них окажется 4 девушки.

Решение. Пусть событие А состоит в том, что из 5 случайно отобранных студентов окажутся 4 девушки. Общее число исходов будет равно количеству способов, сколькими из 13 студентов можно отобрать по 5 студентов . Благоприятствовать событиюА будут те исходы, в которых будет 4 девушки и 1 юноша . Тогда.

Геометрическое определение вероятности. Пусть указана область , из которой наугад выбирается точка. Вероятность того, что выбранная точка одновременно попадет в область А (А  ) пропорциональна мере области А (длине, площади, объему): . Понятиегеометрической вероятности обобщает классическое определение вероятности на случай опытов с бесконечным числом исходов.

Пример 1.5. Случайно поставленная точка принадлежит квадрату со стороной 4. Найти вероятность того, что она попадет в круг, вписанный в этот квадрат.

Решение. Пусть событие А состоит в том, что случайно поставленная точка попадет в круг, вписанный в квадрат. Тогда .

Статистическое определение вероятности. Пусть некоторый эксперимент повторяют п раз, в результате этого событие А наступило т раз. Относительной частотой событияА называется отношение количества испытаний, в которых наступило событие А, к общему числу проведенных испытаний:

.

Если число испытаний неограниченно увеличивать, то относительная частота события «стремится» к вероятности наступления события А. Поэтому при статистическом определении вероятности полагают .