Задачи для контрольной работы.

1. 1. 

   2. 

   3. 

   4. 

2. 1. 

   2. 

   3. 

   4. 

3. 1. 

   2. 

   3. 

   4. 

4. 1. 

   2. 

   3. 

   4. 

5. 1. 

   2. 

   3. 

   4. 

6. 1. 

   2. 

   3. 

   4. 

7. 1. 

   2. 

   3. 

   4. 

8. 1. 

   2. 

   3. 

   4. 

9. 1. 

   2. 

   3. 

   4. 

10. 1. 

    2. 

    3. 

    4. 

11. 1. 

    2. 

    3. 

    4. 

12. 1. 

    2. 

    3. 

    4. 

13. 1. 

    2. 

    3. 

    4. 

14. 1. 

    2. 

    3. 

    4. 

15. 1. 

    2. 

    3. 

    4. 

16. 1. 

    2. 

    3. 

    4. 

17. 1. 

    2. 

    3. 

    4. 

18. 1. 

    2. 

    3. 

    4. 

19. 1. 

    2. 

    3. 

    4. 

20. 1. 

    2. 

    3. 

    4. 

21. 1. 

    2. 

    3. 

    4. 

22. 1. 

    2. 

    3. 

    4. 

23. 1. 

    2. 

    3. 

    4. 

24. 1. 

    2. 

    3. 

    4. 

25. 1. 

    2. 

    3. 

    4. 

26. 1. 

    2. 

    3. 

    4. 

27. 1. 

    2. 

    3. 

    4. 

28. 1. 

    2. 

    3. 

    4. 

29. 1. 

    2. 

    3. 

    4. 

30. 1. 

    2. 

    3. 

    4. 

31. 1. 

    2. 

    3. 

    4. 

32. 1. 

    2. 

    3. 

    4. 

33. 1. 

    2. 

    3. 

    4. 

34. 1. 

    2. 

    3. 

    4. 

35. 1. 

    2. 

    3. 

    4. 

36. 1. 

    2. 

    3. 

    4. 

37. 1. 

    2. 

    3. 

    4. 

38. 1. 

    2. 

    3. 

    4. 

39. 1. 

    2. 

    3. 

    4. 

40. 1. 

    2. 

    3. 

    4. 

Задача №2

В задачах 2.1 – 2.30 вычислить интеграл с помощью формулы Симпсона при указанных значениях параметра, разбив интервал интегрирования на 10 частей. Все вычисления производить с округлением до 3-его десятичного знака числа.

2.1 – 2.10

№	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
р	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10

2.11 – 2.20

№	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
р	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10

2.21 – 2.30

№	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
р	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10

2.31 – 2.40

№	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
р	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10

2.41 – 2.50

№	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
р	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10

2.51 – 2.60

№	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
р	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10

2.61 – 2.70

№	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
р	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10

2.71 – 2.80

№	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
р	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10

2.81 – 2.90

№	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
р	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10

2.91 – 2.100

№	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
р	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10

Задача №3

Вычислить несобственные интегралы или доказать их расходимость:

1. 

2. 

3. 

4. 

5. 

6. 

7. 

8. 

9. 

10. 

11. 

12. 

13. 

14. 

15. 

16. 

17. 

18. 

19. 

20. 

21. 

22. 

23. 

24. 

25. 

26. 

27. 

28. 

29. 

30. 

31. 

32. 

33. 

34. 

35. 

36. 

37. 

38. 

39. 

40. 

41. 

42. 

43. 

44. 

45. 

46. 

47. 

48. 

49. 

50. 

51. 

52. 

53. 

54. 

55. 

56. 

57. 

58. 

59. 

60. 

61. 

62. 

63. 

64. 

65. 

66. 

67. 

68. 

69. 

70. 

71. 

72. 

73. 

74. 

75. 

76. 

77. 

78. 

79. 

80. 

81. 

82. 

83. 

84. 

85. 

86. 

87. 

88. 

89. 

90. 

91. 

92. 

93. 

94. 

95. 

96. 

97. 

98. 

99. 

100. 

Задача №4

1. Вычислить площадь фигуры, ограниченной параболой и прямой .

2. Вычислить площадь фигуры, ограниченной одной аркой циклоиды и осью Ох.

3. Вычислить площадь фигуры, ограниченной кардиоидой.

4. Вычислить площадь фигуры, ограниченной двухлепестковой розой .

5. Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси Ох фигуры, ограниченной параболами и .

6. Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси Ох фигуры, ограниченной полуэллипсом , параболой и осью Оу.

7. Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси Оу фигуры, ограниченной кривыми и.

8. Вычислить длину дуги полукубической параболы от точки A(2;0) до точки B (6;8)

9. Вычислить длину кардиоиды .

10. Вычислить длину одной арки циклоиды .

11. Вычислить площадь фигуры, ограниченной параболами и .

12. Вычислить площадь фигуры, ограниченной параболой и локоном Аньези.

13. Вычислить площадь фигуры, ограниченной кривой.

14. Вычислить площадь фигуры, ограниченной четырехлепестковой розой .

15. Вычислить площадь фигуры, ограниченной эллипсом.

16. Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси Оу фигуры, ограниченной эллипсом .

17. Вычислить длину кривой между точками пересечения с осями координат.

18. Вычислить длину полукубической параболы от точки O(0; 0) до точки M.

19. Найти длину дуги полукубической параболы , заключенной внутри окружности .

20. Найти координаты центра тяжести однородной плоской фигуры, ограниченной параболой и осью Ох.

21. Найти координаты центра тяжести однородной плоской фигуры, ограниченной параболами и .

22. Найти координаты центра тяжести однородной дуги астроиды , расположенной над осью Оx.

23. Найти координаты центра тяжести однородной дуги одной арки циклоиды .

24. Найти координаты центра тяжести фигуры, ограниченной эллипсом и осями координат Ох и Оу .

25. Найти работу, совершаемую при выкачивании воды из корыта, имеющего форму полуцилиндра, длина которого а = 2м, радиус r = 0.3м.

26. Найти силу давления бензина, находящегося в цилиндрическом баке высотой h = 3м и радиусом основания r = 1 м, на его стенки. Плотность бензина р.

27. В жидкость с плотностью р погружена круглая пластинка диаметром d = 1.5м, касающаяся поверхности жидкости. Найти силу давления жидкости на пластинку.

28. Найти площадь поверхности, образованной вращением вокруг оси Ох дуги кривой от до .

29. Найти длину дуги кривой .

30. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями .

31. Вычислить площадь фигуры, ограниченной параболой и прямой .

32. Вычислить площадь фигуры, ограниченной гиперболой и прямой .

33. Вычислить площадь фигуры, ограниченной кардиоидой и окружностью r = 4.

34. Вычислить площадь фигуры, ограниченной одной аркой циклоиды и осью Ох.

35. Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси Ох фигуры, ограниченной цепной линией , осью Ох и прямыми х = ±1.

36. Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси Оу фигуры, ограниченной параболами у = х² .

37. Вычислить объем тела, образованного вращени­ем вокруг оси Оу фигуры, ограниченной локоном Аньези , прямой и осью Оу.

38. Вычислить длину дуги полукубической параболы от x = 0 до x = 3.

39. Вычислить длину астроиды .

40. Вычислить длину кардиоиды .

41. Найти координаты центра тяжести однородной дуги цепной линии от точки (0, 1) до точки .

42. Найти координаты центра тяжести дуги астроиды , расположенной в первом квадранте, если линейная плотность в каждой ее точке равна абсциссе точки.

43. Деревянная прямоугольная балка, размеры поперечного сечения которой а = 0,4 м, b = 0,2 м, длина l = 4,5 м, плавает на поверхности воды. Удельный вес дерева у = 0,8 Г/см³. Вычислить работу, необходимую для извлечения балки из воды.

44. Растяжение (удлинение) пружины пропорционально приложенной силе. Вычислить работу, затрачиваемую при растяжении пружины на 6 см, если сила, равная 2 кГ, удлиняет ее на 1 см.

45. Вычислить работу, которую необходимо затратить, чтобы выкачать воду из сосуда, имеющего форму прямого круглого конуса с вертикальной осью, обращенного вершиной вниз, если радиус основания конуса r = 2 м и высота h = 5 м.

46. Вертикальная плотина имеет форму параболического сегмента, высота которого h—12 м, а верхнее осно­вание совпадает с уровнем воды и имеет длину а = 30 м. Вычислить силу давления воды на плотину.

47. Вертикальная плотина имеет форму равнобочной трапеции, верхнее основание которой совпадает с уровнем воды и имеет длину а = 50 м, нижнее основание b = 20 м, а высота h = 15 м. Вычислить силу давления воды на плотину.

48. Найти координаты центра тяжести однородной плоской фигуры, ограниченной дугой косинусоиды и отрезком оси Ох от х = 0 до .

49. Найти координаты центра тяжести однородной плоской фигуры, ограниченной дугой синусоиды и отрезком оси Ох от х = 0 до .

50. Найти координаты центра тяжести однородной плоской фигуры, ограниченной параболами .

Вычислить работу, которую необходимо затратить на выкачивание воды из резервуара Р. Удельный вес воды при­нять равным 9,81кН/м , = 3,14. (Результат округлить до целого числа.)

51. Р: правильная четырехугольная пирамида со сторо­ной основания 2м и высотой 5м.

52. Р: правильная четырехугольная пирамида, обращенная вершиной вниз. Сторона основания пирамиды равна 2 м, высота — 6м.

53. Р: котел, имеющий форму сферического сегмента, высота которого 1,5м и радиус 1м.

54. Р: полуцилиндр, радиус основания которого 1 м, дли­ на 5м.

55. Р: усеченный конус, у которого радиус верхнего основания равен 1м, нижнего — 2м, высота — Зм.

56. Р: желоб, перпендикулярное сечение которого явля­ется параболой. Длина желоба 5 м, ширина 4 м, глубина 4 м.

57. Р: цилиндрическая цистерна, радиус основания ко­ торой 1м, длина 5м.

58. Р: правильная треугольная пирамида с основанием 2м и высотой 5м.

59. Р: правильная треугольная пирамида, обращенная вершиной вниз, сторона основания которой 4 м, высота 6 м.

60. Р: конус, обращенный вершиной вниз, радиус основания которого 3 м, высота 5м.

61. Р: усеченный конус, у которого радиус верхнего основания равен 3 м, нижнего — 1м, высота — 3м.

62. Р: конус с радиусом основания 2 м и высотой 5 м.

63. Р: правильная четырехугольная усеченная пирамида, у которой сторона верхнего основания 8 м, нижнего — 4 м, высота— 2м.

64. Р: параболоид вращения, радиус основания которо­го 2м, глубина 4м.

65. Р: половина эллипсоида вращения, радиус основания которого 1м, глубина 2м.

66. Р: усеченная четырехугольная пирамида, у которой сторона верхнего основания равна 2 м, нижнего — 4 м, высо­та — 1м.

67. Р: правильная шестиугольная пирамида со стороной основания 1 м и высотой 2м.

68. Р: правильная шестиугольная пирамида с верши­ной, обращенной вниз, сторона основания которой 2 м, высота 6м.

69. Р: цилиндр с радиусом основания 1 м и высотой 3 м.

70. Р: правильная усеченная шестиугольная пирамида, у которой сторона верхнего основания равна 1 м, нижнего — 2 м, высота — 2 м.

71. Р: желоб, в перпендикулярном сечении которого лежит полуокружность радиусом 1м, длина желоба 10 м.

72. Р: правильная усеченная шестиугольная пирамида, у которой сторона верхнего основания равна 2 м, нижнего — 1м, высота — 2м.

73. Р: полусфера радиусом 2м.

Вычислить работу, затрачиваемую на преодоление силы тяжести при построении сооружения Q из некоторого матери­ала, удельный вес которого - (Результат округлить до целого числа.)

74. Q: правильная усеченная четырехугольная пирами­ да, сторона верхнего основания которой равна 2 м, нижнего 4м, высота 2м; = 24кН/м³.

75. Q: правильная шестиугольная пирамида со сторо­ной основания 1м и высотой 2м; — 24кН/ м³ .

76. Q: правильная четырехугольная пирамида со стороной основания 2м и высотой 4м; - 24кН/ м³.

77. Q: правильная шестиугольная усеченная пирамида, сторона верхнего основания которой равна 1 м, нижнего 2м, высота — 2м; = 24кН/м³.

78. Q: правильная треугольная пирамида со стороной основания 3 м и высотой 6м; = 20кН/м³ .

79. Q: конус, радиус основания которого 2 м, высота 3 м; = 20 кН/м³.

80. Q: усеченный конус, радиус верхнего основания которого равен 1 м, нижнего — 2 м, высота — 2 м; — 21 кН/ м³

Найти координаты центра масс плоской однородной фигуры Ф, ограниченной данными линиями.

81. Ф — треугольник, стороны которого лежат на пря­мых х + у = a, x = 0 и y = 0.

82. Ф ограничена эллипсом х²/а² + у²/b² = 1 и осями координат (х 0, у 0).

83. Ф ограничена первой аркой циклоиды

х — a(t — sin t), у = a(l — cost) и осью Ох.

84. Ф, ограничена кривыми у = х², .

85. Ф ограничена дугой синусоиды у = sin x и отрезком оси Ох ().

86. Ф ограничена полуокружностью и осью Ох.

87. Ф ограничена дугой параболы (а > 0, b > 0), осью Ох и прямой х = b.

88. Ф ограничена дугой параболы (а > 0, b > 0), осью Оy и прямой y = b.

89. Ф ограничена замкнутой линией у² = ах³ - х⁴.

90. Ф ограничена осями координат и дугой астроиды, расположенной в первом квадранте.

91. Ф — сектор круга радиусом R с центральным углом, равным 2а.

92. Ф ограничена кардиоидой = а(1 +cos).

93. Ф ограничена первой петлей лемнискаты Бернулли = a²cos2.

94. Ф ограничена осями координат и параболой.

95. Ф ограничена полукубической параболой ау² = х³ и прямой х = а (а > 0).

96. 

97. 

98. 

99. r = 3 + sin2 между смежными наибольшим и наименьшим радиус-векторами.

100. Ly = 2 — cos3 между смежными наибольшим и наимень­шим радиус-векторами.

Задача №5

Найти модуль и аргумент комплексного числа и изобразить на комплексной плоскости:

, где a – количество букв в Вашей фамилии, b – количество букв в вашем имени, n – номер вашего варианта.

Задача №6

Определить и изобразить область существования следующей функции:

6.1. ; 6.2. ;

6.3. ; 6.4.;

6.5.; 6.6.;

6.7.; 6.8.;

6.9.; 6.10.;

6.11.; 6.12.;

6.13.; 6.14.;

6.15.; 6.16.;

6.17.; 6.18.;

6.19.; 6.20.;

6.21.; 6.22.;

6.23.; 6.24.;

6.25.; 6.26.;

6.27.; 6.28.;

6.29.; 6.30.;

6.31.; 6.32.;

6.33.; 6.34.;

6.35.; 6.36.;

6.37.; 6.38.;

6.39.; 6.40.;

6.41.; 6.42.;

6.43.; 6.44.;

6.45.; 6.46.;

6.47.; 6.48.;

6.49.; 6.50.;

6.51.; 6.52.;

6.53.; 6.54.;

6.55.; 6.56.;

6.57.; 6.58.;

6.59.; 6.60.;

6.61.; 6.62. ;

6.63.; 6.64.;

6.65.; 6.66.;

6.67.; 6.68.;

6.69.; 6.70.;

6.71.; 6.72.;

6.73.; 6.74.;

6.75.; 6.76.;

6.77.; 6.78.;

6.79.; 6.80.;

6.81.; 6.82.;

6.83.; 6.84.

6.85.; 6.86.;

6.87.; 6.88.;

6.89.; 6.90.;

6.96.; 6.92.;

6.93.; 6.94.;

6.95.; 6.96.;

6.97.; 6.98.;

6.99.; 6.100..

Задача №7

Найти частные производные 1-го порядка следующей функции:

7.1.; 7.2.;

7.3.; 7.4.;

7.5.; 7.6.;

7.7.; 7.8.;

7.9.; 7.10.;

7.11.; 7.12.;

7.13.; 7.14.;

7.15.; 7.16.;

7.17.; 7.18.;

7.19.; 7.20.;

7.21.; 7.22.;

7.23.; 7.24.;

7.25.; 7.26.;

7.27.; 7.28.;

7.29.; 7.30.;

7.31.; 7.32.;

7.33.; 7.34.;

7.35.; 7.36.;

7.37.; 7.38.;

7.39.; 7.40.;

7.41.; 7.42.;

7.43.; 7.44.;

7.45.; 7.46.;

7.47.; 7.48.;

7.49.; 7.50.;

7.51.; 7.52.;

7.53.; 7.54.;

7.55.; 7.56.;

7.57.; 7.58.;

7.59.; 7.60.;

7.61.; 7.62.;

7.63.; 7.64.;

7.65.; 7.66.;

7.67.; 7.68.;

7.69.; 7.70.;

7.71.; 7.72.;

7.73.; 7.74.;

7.75.; 7.76.

7.77.; 7.78.;

7.79.; 7.80.;

7.81.; 7.82.;

7.83.; 7.84.;

7.85.; 7.86.;

7.87.; 7.88.;

7.89.; 7.90.;

7.91.; 7.92.;

7.93.; 7.94.;

7.95.; 7.96.;

7.97.; 7.98.;

7.99.; 7.100..

Задача №8

Даны функция z=f(x,y), точка , вектор .

Найти:

1) grad z в точке А;

2) производную функции f(x,y) в точке А в направлении ;

3) уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности z=f(x,y) в точке .

8.1.; 8.2.;

8.3.; 8.4.;

8.5.; 8.6.;

8.7.; 8.8.;

8.9.; 8.10.;

8.11.; 8.12.;

8.13.; 8.14.;

8.15.; 8.16.;

8.17.; 8.18.;

8.19.; 8.20.;

8.21.; 8.22.;

8.23.; 8.24.;

8.25.; 8.26.;

8.27.; 8.28.;

8.29.; 8.30.;

8.31.; 8.32.;

8.33.; 8.34.;

8.35.; 8.36.;

8.37.; 8.38.;

8.39.; 8.40.;

8.41.; 8.42.;

8.43.; 8.44.;

8.45.; 8.46.;

8.47.; 8.48.;

8.49.; 8.50.;

8.51.; 8.52.;

8.53.; 8.54.;

8.55.; 8.56.;

8.57.; 8.58.;

8.59.; 8.60.;

8.61. ;

8.62.

8.63.;

8.64.;

8.65.;

8.66.;

8.67.;

8.68.;

8.69.;

8.70.;

8.71.;

8.72.;

8.73.;

8.74.;

8.75.;

8.76.;

8.77.;

8.78. ;

8.79.;

8.80.;

8.81.; 8.82.;

8.83.; 8.84.;

8.85.; 8.86.

8.87.; 8.88.;

8.89.; 8.90.;

8.91.; 8.92.;

8.93.; 8.94.;

8.95.; 8.96.;

8.97.; 8.98.;

8.99.; 8.100..

Задача №9

Найти экстремумы функции:

9.1.; 9.2.;

9.3.; 9.4.;

9.5.; 9.6.;

9.7.; 9.8.;

9.9.; 9.10.;

9.11.; 9.12.;

9.13.; 9.14.;

9.15.; 9.16.;

9.17.; 9.18.;

9.19.; 9.20.;

9.21.; 9.22.;

9.23.; 9.24.;

9.25.; 9.26.;

9.27.; 9.28.;

9.29.; 9.30.;

9.31.; 9.32.;

9.33.; 9.34.;

9.35.; 9.36.;

9.37.; 9.38.;

9.39.; 9.40.;

9.41.; 9.42.;

9.43.; 9.44.;

9.45.; 9.46.;

9.47.; 9.48.;

9.49.; 9.50.;

9.51.; 9.52.;

9.53.; 9.54.;

9.55.; 9.56.;

9.57.; 9.58.;

9.59.; 9.60.;

9.61.; 9.62.;

9.63.; 9.64.;

9.65.; 9.66.;

9.67.; 9.68.;

9.69.; 9.70.;

9.71.; 9.72.;

9.73.; 9.74.;

9.75.; 9.76. ;

9.77.; 9.78.;

9.79.; 9.80.;

9.81.; 9.82.;

9.83.; 9.84.;

9.85.; 9.86.;

9.87.; 9.88.;

9.89.; 9.90.;

9.91.; 9.92.;

9.93.; 9.94.;

9.95.; 9.96.;

9.97.; 9.98.;

9.99.; 9.100..