4. Плоский поперечный изгиб.

З а д а ч а 4.1.

Для указанной балки построить эпюры внутренних усилий. Выполнить расчёт на прочность. Подобрать двутавровое сечение из прокатного профиля, если R=210 МПа, R_c=130 МПа.

m=20 кН·м, q=8 кН/м, F=12кН.

Решение.

Определим реакции опор. Составим уравнение равновесия:

Рис. 4.1. Схема балки. Эпюры поперечных сил и изгибающих

моментов.

Исходя из направления нагрузок () определяем, что горизонтальная реакция равна нулю.

Построим эпюры поперечных сил и изгибающих моментов методом сечений.

В точке А:

В точке В:

В точке С (правее):

В точке С (левее):

В точке D:

Подберём двутавровое сечение при R=210 МПа.

Максимальный изгибающий момент M_max определим по эпюре изгибающих моментов (рис.4.1). M_max = 170,08 кН·м.

Пользуясь сортаментом (Приложение 1), выбираем двутавр №40 с W_x=953 см³.

Проверим прочность по нормальным напряжениям:

Недогрузка составляет:

Проверим прочность по касательным напряжениям:

Максимальное значение поперечной силы (Q_{Y max}) определяем по эпюре поперечных сил (рис.4.1).

(геометрические характеристики выбираем из Приложения 1).

Прочность двутавровой балки по нормальным и касательным напряжениям обеспечена.

З а д а ч а 4.2.

Для указанной балки (рис.4.2) построить эпюры внутренних усилий. Подобрать сечение из двух швеллеров из прокатных профилей, если R=210 МПа, R_c=130 МПа.

m=18 кН·м, q=20 кН/м, F=12кН.

Рис. 4.2. Схема балки. Эпюры поперечных сил и изгибающих

моментов.

Решение.

Определим реакции опор. Составим уравнение равновесия:

Проверим правильность определения реакций:

Построим эпюры поперечных сил и изгибающих моментов методом сечений (рис.5.2).

В точке А:

В точке В (левее):

В точке В (правее):

В точке С (левее):

В точке С (правее):

_{В точке D (левее)}

В точке Е эпюра поперечных сил пересекает ось z. Определим значение изгибающего момента в этой точке. Определим расстояние Z₀:

Подберём сечение в виде двух швеллеров (Приложение 2) при R=210 МПа.

(из эпюры М, рис.4.2).

Для одного швеллера: Из сортамента (Приложение 2) выбираем швеллер №24 с W_x=242 см³. Для двух швеллеров W_x=

Проверим прочность по нормальным напряжениям:

МПа.

Перегрузка составляет:

.

Проверим прочность по касательным напряжениям:

(геометрические характеристики швеллера выбираем из Приложения 2).

Прочность балки, состоящей из двух швеллеров, по нормальным и касательным напряжениям обеспечена.

З а д а ч а 4.3.

Для указанной балки построить эпюры внутренних усилий. Выполнить расчёт на прочность. Подобрать прямоугольное сечение из древесины, если соотношение сторон сечения составляют

m=8 кН·м, q=6 кН/м, F=8кН.

Рис. 4.3. Схема балки. Эпюры поперечных сил и изгибающих

моментов.

Решение.

Определим реакции опор. Составим уравнение равновесия:

Проверим правильность определения реакций:

Построим эпюры поперечных сил и изгибающих моментов (рис.5.3):

В точке А:

В точке В (левее):

В точке В (правее):

В точке С (левее):

В точке С (правее):

В точке D:

Подберём прямоугольное сечение,

(рис 4.3),

Округляем см, тогдасм,

<16 МПа.

Недогрузка составляет:

Проверим прочность по касательным напряжениям:

(из эпюры поперечных сил, рис 4.3).

Прочность деревянной балки по нормальным и касательным напряжениям обеспечена.

З а д а ч а 4.4.

Для указанной балки (рис.5.4) построить эпюры внутренних усилий. Выполнить расчёт на прочность. Подобрать круглое сечение из древесины, если R=16 МПа, R_C=2 МПа,

m=20 кН·м, q=10 кН/м, F=16кН.

Решение. Определим реакции опор. Составим уравнение равновесия:

Рис.4.4. Схема балки. Эпюры поперечных сил и изгибающих моментов.

Проверим правильность определения реакций:

Построим эпюры поперечных сил и изгибающих моментов.

В точке А:

В точке В (левее):

_{В точке В (правее):}

В точке С (левее):

В точке С (правее):

В точке D:

Определим значение изгибающего момента в точке K и М (в этих точках эпюра поперечных сил меняет знак).

Подберём круглое сечение. Из эпюры изгибающих моментов (рис.4.4) выберем максимальный изгибающий момент.

Принимаем

Определим максимальные нормальные напряжения:

Проверим прочность по касательным напряжениям:

(из эпюры поперечных сил,

рис.4.4)

Прочность деревянной балки по нормальным и касательным напряжениям обеспечена.

З а д а ч а 4.5.

Для указанной балки построить эпюры внутренних усилий и проверить прочность. Поперечное сечение балки – двутавр № 30, R=210 МПа, R_C=130 МПа,

m=24 кН·м, q=16 кН/м, F=18кН.

Рис.4.5. Схема шарнирной балки. Эпюры поперечных сил и изгибающих моментов.

Решение.

Данная шарнирная балка может рассматриваться как сочетание консольной балки DE и подвесной двухопорной балки AD, для которой правой опорой является конец консоли D первой балки.

Рассмотрим равновесие подвесной балки AD и определим ее опорные реакции:

Определим правильность определения опорных реакций:

Построим эпюры поперечных сил и изгибающих моментов.

В точке А:

В точке В (левее):

В точке В (правее):

В точке С (левее):

В точке С (правее):

В точке D:

Рассмотрим консольную балку DE. Реакцию Y_D прикладываем в точке D с противоположным знаком. Строим эпюры поперечных сил и изгибающих моментов с учётом Y_D.

В точке D:

Определим величину изгибающих моментов в точках K и M (в данных точках эпюра поперечных сил меняет знак, рис.4.5):

Проверим прочность балки по нормальным напряжениям:

Недогрузка составляет:

Проверим прочность балки по касательным напряжениям:

- все геометрические характеристики двутавра № 30 выбираем из сортамента (Приложение 1).

Прочность двутавровой балки по нормальным и касательным напряжениям обеспечена.

З а д а ч а 4.6.

Для указанной балки построить эпюры внутренних усилий и проверить прочность. Поперечное сечение балки – двутавр № 24, R=210 МПа, R_C=130 МПа,

m=10 кН·м, q=12 кН/м, F=20кН.

Рис.4.6. Схема шарнирной балки. Эпюры поперечных сил и изгибающих моментов.

Решение.

Данная шарнирная балка может рассматриваться как сочетание балки AD, лежащей на двух опорах и подвесной двухопрной балки DE.

Рассмотрим равновесие подвесной балки DE. Определим реакции опор:

Проверяем правильность определения реакций опор:

Построим эпюры поперечных сил и изгибающих моментов на участке DE шарнирной балки.

В точке Е:

В точке D:

Определим реакции опор балки AD, приложив в точку D реакцию Y_D, взятую с обратным знаком.

Проверяем правильность определения реакций опор:

Построим эпюры поперечных сил и изгибающих моментов на участке AD шарнирной балки.

В точке D:

В точке С (правее):

В точке С (левее):

В точке В (правее):

В точке В (левее):

В точке А:

Определим координаты точек К и М (z_k и z_m) :

Вычислим значение изгибающих моментов в точках K и М:

Проверим несущую способность балки:

Для двутавра № 24 из сортамента (Приложение 1) выпишем значение момента сопротивления: (из эпюры изгибающих моментов, рис.5.6).

Прочность балки по нормальным напряжениям обеспечена.

Проверим прочность балки по касательным напряжениям:

Для двутавра № 24 выпишем из сортамента (Приложение 1) геометрические характеристики сечения:

Прочность балки по касательным напряжениям обеспечена.

З а д а ч а 4.7.

Для указанной шарнирной балки построить эпюры внутренних усилий и проверить прочность. Поперечное сечение балки - двутавр № 24, R=210 МПа; R_C=130 МПа,

m=16 кН·м, q=8 кН/м, F=12кН.

Решение.

Данная балка может рассматриваться как сочетание балок КЕ, ЕС, последовательно лежащих на консоли АС.

Рассмотрим равновесие подвесной балки КЕ. Определим реакции опор:

Проверим правильность определения реакций опор:

Построим эпюры поперечных сил и изгибающих моментов на участке КЕ шарнирной балки (рис.4.7).

В точке K:

В точке E:

Рассмотрим равновесие подвесной балки СЕ. Определим реакции опор. Реакцию Y_E прикладываем к балке с обратным знаком.

Рис.4.7. Схема шарнирной балки и эпюры поперечных сил и изгибающих моментов.

Проверяем правильность определения реакций опор:

Cтроим эпюры поперечных сил и изгибающих моментов на участке CE шарнирной балки:

В точке E:

В точке D (правее):

В точке D (левее):

В точке С:

Построим эпюры поперечных сил и изгибающих моментов на консольной балке АС:

В точке С:

В точке B (правее):

В точке B (левее):

В точке A:

Определим момент в точке L (эпюра поперечных сил меняет знак):

Проверим несущую способность балки:

(из эпюры изгибающих

моментов, рис.4.7),

Прочность балки по нормальным напряжениям обеспечена.

Проверим прочность балки по касательным напряжениям:

Для двутавра №24 из сортамента (Приложение 1):

Прочность балки по касательным напряжениям обеспечена.

З а д а ч а 4.8.

Для заданной рамы (рис 4.8) построить эпюры внутренних усилий, если m=20 кН·м, q=12 кН/м, F=10кН.

Решение.

Определим реакции опор, составив уравнение равновесия: ΣМ_А = 0:

Рис.4.8 Схема рамы и эпюра продольных сил.

Проверим правильность определения опорных реакций:

Рис.4.9 Эпюры поперечных сил и изгибающих моментов.

Построим эпюру продольных сил (рис.4.8):

Участок АВ:

Участок BD:

Участок KD:

Построим эпюры поперечных сил (рис.4.9):

Участок АВ:

в точке А: в точке В:

Участок BD:

в точке С: в точке D:

Участок ЕD:

в точке Е: в точке D:

Участок LB:

в точке L: в точке В:

Построим эпюру изгибающих моментов (рис.4.9):

Участок АВ:

(растянутые волокна снизу)

Участок LВ:

(растянутые волокна слева)

(растянутые волокна справа)

Участок BС:

(растянутые волокна снизу).

Участок КD:

(растянутые волокна справа).

Участок DC:

(растянутые волокна снизу)

(растянутые волокна снизу).

Определим

Задача 4.9.

Для заданной рамы (рис 4.10) построить эпюры внутренних усилий,

если m=16 кН·м, q=10 кН/м, F=20кН.

Решение.

Определим реакции опор:

Построим эпюру продольных сил (рис.4.10):

Участок DE:

Участок CD:

(растяжение).

Участок АС:

(растяжение).

Построим эпюры поперечных сил (рис 4.11):

Участок DE:

Рис. 4.10. Схема рамы и эпюра продольных сил.

Участок CD:

Участок BC:

Участок АВ:

Построим эпюры изгибающих моментов (рис.4.11):

Рис. 4.11. Эпюры поперечных сил и изгибающих моментов.

Участок ED:

(растянутые волокна слева),

(растянутые волокна слева).

Участок СD

: (растянутые волокна слева),

(растянутые волокна слева).

Участок СВ:

(растянутые волокна снизу),

(растянутые волокна снизу).

Участок ВА: М_В = 116,6 кН·м, (растянутые волокна снизу).

(растянутые волокна).

Задача 4.10

Балка нагружена расчетной нагрузкой. Материал балки – сталь с расчетными сопротивлениями R=210МПа, и модулем продольной упругости Е=200ГПа.

Требуется:

1. подобрать сечение двутаврового профиля и проверить прочность в учетом собственного веса;

2) в одном из сечений балки, имеющем одновременно большие значения поперечной силы Q и изгибающего момента M, определить напряжения σ и τ на уровне примыкания полки к стенке и проверить прочность используя энергетическую теорию прочности; для сравнения выполнить проверку прочности по третьей теории прочности; выделить вокруг указанной точки элемент балки и показать на схеме нормальные, касательные и главные напряжения;

3) используя один из известных методов определить прогибы посередине пролета и на конце консоли, построить эпюру прогибов балки;

4) проверить жесткость балки при допустимом относительном прогибе:

а=2 м,

b=3 м,

с=2 м,

d=4 м,

F=20 кН,

M=10 кНм,

q=12кН/м.

Рис. 4.12. Схема балки.

Определим опорные реакции в балке и построим эпюры поперечных сил и изгибающих моментов.

Составим уравнение равновесия:

;

Осуществляем проверку правильности определения опорных реакций:

Строим эпюру поперечных сил (рис 4.13):

Рис.4.12. Схема балки. Эпюры поперечных сил и изгибающих моментов

Рис.4.13. Эпюры поперечных сил и изгибающих моментов от собственного веса балки.

Строим эпюру изгибающих моментов (рис 4.13):

. Подберем сечение балки в виде двутавра, используя следующее условие прочности: откуда требуемый момент сопротивления.

(согласно эпюре изгибающих моментов).

Пользуясь сортаментом (Приложение1), выбираем двутавр №36:

(собственный вес балки);

Проверим прочность балки с учетом собственного веса.

Определим опорные реакции от действия собственного веса балки (q=0,486кН).

Построим эпюры поперечных сил и изгибающих моментов.

Усилия в балке с учетом собственного веса:

Прочность балки с учетом собственного веса:

Прочность балки с учетом собственного веса обеспечена.

Проверим прочность балки по главным напряжениям. Выберем опасное сечение балки, в котором имеется сочетание максимального изгибающего момента и поперечной силы. (точка С):

Проведем анализ сечения.

Определим нормальные и касательные напряжения в точке 1 (сжатие):

Рис.4.15. Сечение балки. Эпюры нормальных и касательных напряжений.

(сжатие)

(растяжение);

(растяжение);

т.к.

(статический момент площади сечения выше точки 2).

- статический момент площади половины сечения двутавра.

Определим экстремальные касательные напряжения в точке 2 сечения:

Главные напряжения:

Проведем полную проверку прочности балки, используя энергетическую теорию прочности:

Прочность балки по главным напряжениям обеспечена.

Построим эпюры нормальных и касательных напряжений, действующих в поперечном сечении балки (рис 4.15).

Рассчитаем главные напряжения, действующие в сечении С.

Для точки 1:

Для точки 2:

\

Для точки 3.

Для точки 4.

Рассчитаем максимальные касательные напряжения, действующие в сечении:

Для точки 1:

Для точки 2:

Для точки 3:

Построим эпюру максимальных касательных напряжений (рис4.15).

Построим упругую линию балки, используя метод начальных параметров.

Обобщенное уравнение изогнутой оси имеет вид:

,

где а, в и с - координаты соответствующих нагрузок.

Рис 4.16. Упругая линия балки.

Для определения начальных параметров изададимся условием, что прогиб на опореD равен 0.

Запишем уравнение прогибов для Z=7м:

Определим прогиб в середине пролета при Z=3,5м:

Определим прогиб в конце пролета при Z=11м:

Так как распределенная нагрузка q действует не до конца балки, то продляем ее до точки К, приложив на участке DK q с обратным знаком.

Определим углы поворота на опорах:

Переведем в градусы, умножив на

Определим максимальный относительный прогиб в пролете балки:

Условие жесткости выполняется.