Домашнее задание

15.9. Найти производные второго порядка следующих функций:

а) .б) .

15.10. Найти , если.

15.11. Найти , если:

а) . б) .

15.12. Вычислить значение производной второго порядка функции , заданной уравнением, в точке.

15.13. Доказать, что функция удовлетворяет уравнению. Записать для этой функции.

15.14. Вычислить приближенное значение функции прис точностью до двух знаков после запятой.

Ответы

15.9. а) . б) .

15.10. . 15.11. а) .

15.11. б) . 15.12. –1.

15.13. . 15.14. 1,93.

Занятие 16

Правило Лопиталя–Бернулли. Формула Тейлора

Аудиторная работа

16.1. Применяя правило Лопиталя–Бернулли, найти пределы:

а) . б) .

в) . г) .

д) . е) .

ж) . з) .

и) . к) .

16.2. Разложить многочлен по степеням двучлена.

16.3. Написать формулу Тейлора 3-го порядка для функции в точке.

16.4. Вывести приближенную формулу и оценить ее точность при.

16.5. Вычислить с точностью до .

16.6. Найти пределы, используя разложение по формуле Тейлора:

а) .б) .

в) .

Домашнее задание

16.7. Найти пределы функций, применяя правило Лопиталя-Бернулли:

16.7. а) .б) .

в) .г) .

д) .

16.8. Написать формулу Тейлора 3-го порядка для функции при.

16.9. Вычислить приближенно с точностью до.

16.10. Вычислить предел, используя формулу Тейлора с остаточным членом в форме Пеано.

Ответы

16.7. а) 1. б) 1/6. в) 0. г) 0. д) .

^16.8.

16.9. 0,0175. 16.10. .

Занятие 17

Монотонность функций. Экстремум. Наибольшее и наименьшее значения функции

Аудиторная работа

17.1. Найти интервалы монотонности и точки экстремума следующих функций:

а) .б) .

в) .г) .

д) .е)

17.2. Найти экстремумы функций, пользуясь производной 2-го порядка:

а) . б) .

в) .г) .

17.3. Определить наибольшее и наименьшее значения данных функций в указанных интервалах:

а) .б) .

в) ;.г) .

д) ;.

17.4. Требуется изготовить ящик с крышкой, объем которого был бы равен 72 см³, причем стороны основания относились бы как 1 : 2. Каковы должны быть размеры всех сторон, чтобы полная поверхность ящика была наименьшей?

17.5. Найти высоту цилиндра наибольшего объема, который можно вписать в шар радиусом R.

Домашнее задание

17.6. Найти интервалы возрастания и убывания и точки экстремума следующих функций:

а) .б) .

17.7. Найти экстремум функции , используя вторую производную.

17.8. Найти наибольшее и наименьшее значения функций в указанных интервалах (или во всей области определения):

а) ;.б) .

17.9. Из трех досок одинаковой ширины сколачивается желоб для подачи воды. При каком угле наклона боковых стенок к днищу желоба площадь поперечного сечения будет наибольшей?

Ответы

17.6. а) На – убывает; на– возрастает;.

17.6. б) Возрастает на всей области определения.

17.7. .

17.8. а) 1 и 3/5. 17.8. б) и.17.9. .

Занятие 18

Выпуклость и вогнутость графиков функций. Асимптоты. Построение графиков функций

Аудиторная работа

18.1. Найти точки перегиба и интервалы выпуклости и вогнутости графиков функций:

а) .б) .

в) .г) .

18.2. Найти асимптоты графиков функций:

а) .б) .

в) .г) .

18.3. Провести полное исследование и построить графики функций:

а) .б) .

в) .г) .

д) .

Домашнее задание

18.4. Найти точки перегиба графиков функций:

а) .б) .

18.5. Найти асимптоты графика функции .

18.6. Исследовать функции и построить их графики:

а) .б) .

Ответы

18.4. а) .б) Точек перегиба нет.

18.5. .

Типовой расчет № 1

Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии

Задача 1

Исследовать систему уравнений и в случае совместности решить ее.

1.1. а)б)

1.2. а)б)

1.3. а)б)

1.4. а)б)

1.5. а)б)

1.6. а)б)

1.7. а)б)

1.8. а)б)

1.9. а) б)

1.10. а) б)

1.11. а) б)

1.12. а) б)

1.13. а) б)

1.14. а) б)

1.15. а) б)

1.16. а) б)

1.17. а) б)

1.18. а) б)

1.19. а) б)

1.20. а) б)

1.21. а) б)

1.22. а)б)

1.23. а)б)

1.24. а)б)

1.25. а) б)

Задача 2

2.1. Вычислить , где– единичные векторы, угол между которыми равен.

2.2. Найти проекцию вектора на направление вектора.

2.3. Найти ,, если.

2.4. Вектор , коллинеарный вектору, образует острый угол с осьюOz. Найти координаты вектора , если.

2.5. Найти , если,.

2.6. Найти ,, если– ортогональный базис и.

2.7. Найти длину вектора , если.

2.8. Найти вектор , коллинеарный векторуи удовлетворяющий условию.

2.9. Найти , если.

2.10. Вычислить синус угла между диагоналями параллелограмма, сторонами которого служат векторы .

2.11. Найти вектор , удовлетворяющий условиям , если,,.

2.12. Даны векторы . Найти проекцию векторана направление вектора.

2.13. Вектор , коллинеарный вектору, образует острый угол с осьюOz. Найти координаты вектора , если.

2.14. Найти площадь треугольника, построенного на векторах и, если.

2.15. Найти , если.

2.16. Какой угол образуют векторы и, еслииортогональны,?

2.17. Вычислить , если,.

2.18. Даны точки А(–5, 7, –6) и B(7, –9, 9). Найти проекцию вектора на направление вектора.

2.19. Найти координаты вектора , если .

2.20. Найти вектор , ортогональный вектору, имеющий с ним одинаковую длину и лежащий в плоскостиOyz.

2.21. Найти угол между векторами , если.

2.22. Найти проекцию вектора на направление вектора.

2.23. Какой угол образуют единичные векторы и, если векторыиортогональны?

2.24. Доказать, что скалярное произведение двух векторов не изменится, если к одному из них прибавить вектор, ортогональный другому сомножителю.

2.25. При каких значениях  и  векторы иколлинеарны?