19. Переходные функции по току и напряжению

Пусть произвольная электрическая цепь с нулевыми начальными усло­виями в момент временивключается под действием источника постоян­ной ЭДС(рис. 148).

t=0

E

а)

Рис. 148

t

i_L(0)=0

u_C(0) =0

Переходной процесс не изменится, если из схемы убрать ключ, а посто­янную ЭДС заменить скачкообразнойсо скачком в момент(рис. 149).

Функцияназывается единичной скачкообразной функцией, имеющей значения:

Возникающие на любых участках цепи токи и напряженияпрямо пропор­циональны скачкообразной ЭДС:

где переходная функция по току, или переходная проводимость,переходная функция по напряжению.

Переходная функция по току или по напряжениюназывается функция по времени, численно равная соответствующему токуили напря­жениюпри включении цепи с нулевыми начальными условиями к источ­нику единичной постоянной. Переходные функцииимо­гут быть рассчитаны для любой схемы классическим или операторным мето­дом.

Пример. Рассчитать переходные функции для токаи напряженияв цепиR,С.

Выполним расчет переходного процесса в цепи R, Cпри включении ее к источнику постоянной ЭДС(рис. 3) классическим методом. В резуль­тате найдем:

; .

Искомые переходные функции получим из найденных выражений, заме­нив в них Е на 1.

; .

Переходные функции используются при расчете переходных процессов методом ин­те­грала Дюамеля.

20. Расчет переходных процессов методом интеграла Дюамеля

Метод интеграла Дюамеля применяется для расчета переходных процес­сов в элек­три­ческих цепях в том случае, если в рассматриваемой цепи действует источник ЭДС про­извольной формы, отличной от стандартной (постоянной или синусоидальной).

Пусть к источнику ЭДС произвольной формы подключается цепь с нулевыми на­чальными условиями и с заданной переходной проводимостью(рис. 4).

Заменим непрерывную кривую ЭДСприближенно ступенчатой с ин­тервалами по осимежду отдельными скачками, равными. Первый скачок ЭДС равени дей­ст­вует в момент. Все последующие скачки ЭДС можно определить каки действуют они с запаздыва­нием на, то есть в момент. Ток на выходе цепи в произвольный мо­мент времениtможно рассматривать в соответствии с принципом наложения как сумму частичных токов, возникающих под действием отдельных скачков ЭДС, следующих друг за другом через промежуткив интервале времени от 0 доt.

Частичный ток, вызванный первым источником ЭДС, будет равен , а час­тичные токи, вызванные последующими скачками ЭДС, будут равны:.

Результирующий ток равен сумме частичных токов:

.

Перейдем к бесконечно малым интервалам и заменим сумму интегралом:

.

Полученное выражение для носит название интеграла Дюамеля и применяется на практике для расчета переходных процессов в электрических цепях при воздействии на них источников ЭДС или тока произвольной формы.

Порядок применения интеграла Дюамеля:

1. Выполняют расчет переходного процесса классическим или опера­торным ме­тодом при включении исследуемой цепи к источнику единичной по­стоянной ЭДС и таким образом определяют необходимую переходную функцию по токуили по напря­же­нию.

2. Определяют переходную функцию илипутем за­мены в выра­женияхилипеременнойна.

3. Находят производную от функции ЭДС и в получен­ном выраже­нии заменяют переменнуюtна, в результате получают функцию.

4. Выражения функций ,илиподставляют в фор­мулу инте­грала Дюамеля, выполняют интегрирование по переменнойи под­ставляют пределы интег­риро­вания по переменнойt. При необходимости упро­щают структуру полученного выраже­ния искомой функцииили.

Замечания:

1. Если функция претерпевает скачки или разрывы, то она разби­вается на от­дельные участки с плавным изменением функции, при этом инте­грал Дюамеля применяется к каждому участку в отдельности.

2. При расчете переходных процессов в цепях постоянного или сину­соидального тока метод интеграла Дюамеля проигрывает классическому и опе­раторному методам, по­этому для таких цепей он не применяется.

Пример. Рассчитать токв цепиR, Cпри действии на нее трапецие­видного им­пульса с заданными параметрами (рис. 152):

Переходная проводимость схемы:

; .

Производная от функции ЭДС :;.

Так как функция в момент времениизменяется скачком, то ее разбиваем на два участка, для каждого из которых находим свое решение для искомой функ­ции.

Решение для :

Решение для :