- •§ 2. Спектральный анализ временных рядов §2. Спектральный анализ временных рядов
- •2.1. Ряд Фурье, преобразование Фурье и алгоритм бпф
- •2.2. Вычисление амплитудного спектра, спектра мощности и фазового спектра методом бпф
- •2.3. Вычисление корреляционных последовательностей и свертки методом бпф
- •2.4. Синтез сигналов с помощью бпф
2.2. Вычисление амплитудного спектра, спектра мощности и фазового спектра методом бпф
Вычисленные коэффициенты Фурье Cx(k) позволяют найти амплитудный спектр, спектр мощности и фазовый спектр продискретизированного сигналаX(m)= = x(mT),для которогоm = 0, 1, ..., 2n -1 (T- интервал дискретизации) в соответствии с формулами (9.15), (9.16). Проиллюстрируем это на следующем примере. Пусть измеренный сигнал представляет собой функциюx(t) = e-t , 0 < t < 4 мси требуется с помощью алгоритма ДПФ найти его амплитудный и фазовый спектры. Для применения алгоритма БПФ сигналx(t) необходимо продискретизировать и из полученной последовательностиX(m) взятьN =2nдискретных значений. Далее, для последовательностиX(m), m = 0, 1, ..., Nможно использовать приведенную процедуруfft, обращение к которой может быть построено, например, следующим образом:
. . . . . . . . . . . . .
TYPE
RT = Array[0..5000] of Word; RP = ^RT;
DRP = ^DRT;
VAR ns,t :RP; x :DRP; n,i :Word;
. . . . . . . . . . . . .
BEGIN
fft(x,n,-1); {БПФ}
FOR i:=0 TO n-1 DO
BEGIN
{ вычисление спектров, амплитудного: }
x^[i,0]:=sqrt(x^[i,0]*x^[i,0]+`
x^[i,1]*x^[i,1]);
{ и фазового: }
x^[i,1]:=ArcTan((x^[i,1])/(x^[i,0]));
END;
END.
2.3. Вычисление корреляционных последовательностей и свертки методом бпф
Алгоритм БПФ может быть эффективно использован для вычислениякорреляционныхпоследовательностей (взаимно- или кросс-корреляционных функций) исверткисигналов [Ахмед, Рао, 1980].
Пусть, например, имеются две действительные последовательности {X(m)}и{Y(m)}с периодомN. Тогда последовательность, полученная в результате их корреляции, будет определяться по следующей формуле [Г.Корн, Т.Корн, 1978]:
. (9.18)
Tеорема корреляции [Ахмед, Рао, 1980] гласит, что, если функция корреляции последовательностей {X(m)}и{Y(m)}действительных чисел определяется формулой (9.12), причем имеют место взаимно однозначные отображенияX(m) « Cx (k) и Y(m) « CY (k),то
.
Отсюда следует, что последовательность {(m)} может быть вычислена при помощи алгоритма БПФ в соответствии со схемой, показанной на рис. 9.4. На рис. 9.5, в качестве примера, приведена последовательность {(m)}, полученная с помощью процедурыfftв результате автокорреляции экспоненциально убывающей последовательностиx(t)= e-tдляN = 32.
Свертка двух непрерывных T-периодических сигналовx(t) иy(t) определяется интегралом
. (9.19)
В случае дискретных последовательностей {X(m)}, {Y(m)}формула (9.19) приобретает вид:
. (9.20)