2.7. Методы ускорения сходимости

В применении к некоторым уравнениям рас­смот­­рен­ные итерационные методы сходятсядо­вольно мед­лен­но. В таких случаях особое зна­че­ние приобретают спо­со­бы, позволяющие оп­ти­ми­зи­ро­вать итерационный про­цесс путемус­ко­ре­ния схо­ди­мости методаитераций. Рас­смотрим два на­и­бо­лее часто употребляющихся ал­го­рит­ма.

Метод кратного корня. Ускорение сходимости мож­но получить, если подобрать правую часть урав­­нения (1.15) так, что

F'(x) = F''(x) = ... = F ^(m-1)(x) = 0, F^(m)(x)№0,

где x - корень уравнения.

Тогда для m = 3 ите­ра­ци­он­ный процесс будет оп­ре­де­ляться формулой

, (1.20)

т.е. будет отличаться от уравнения (1.19) по­след­ним чле­ном. Следовательно, про­це­ду­ра ме­то­да ка­са­тель­ных, рассмотренная в п. 2.3, долж­на быть до­полнена со­ответствующим бло­ком, в ко­то­ром про­изводится вы­чис­ление этого чле­на.

Другой вариант - использование на каждом ите­­ра­ци­онном шаге про­це­ду­ры-функции accel1. Значение и тип параметров яс­ны из самого текста процедуры-функ­цииaccel1, ко­торая, в свою очередь, использует функ­ции, возвращающие значения

.

Function accel1(x:real): real;

var f,d1,d2:real;

begin

{ *** функции func, der1, der2 вычисляют

соответственно значения функции и ее

первой и второй производных в точке x ***}

f:=func(x);

d1:=der1(x);

1 Корень х на­зы­ва­ет­ся прос­­тым, если F(x) = 0, а F'(x) ¹ 0.

2 N = lоg₂ (b - а) / e.

3 Если на выделенном от­рез­ке находятся три корня функции и бо­лее или если кор­ни близко рас­­положены (в пре­делах за­дан­ной по­греш­нос­ти).

15