§ 4. Алгебра матриц

Матрицей называется прямоугольная таб­ли­ца из чи­­сел, содержащая некоторое количество m строк и n столбцов, при этом числа m и n на­зываются порядками мат­ри­цы. Если m = n, мат­­рица на­зывается квадратной, а число m = n - ее по­­рядком. Для записи матриц ис­пользуются сле­ду­ю­щие обо­зна­че­ния:

, (1.33)

где числа a_ij называются элементами матрицы A. В слу­чае, если m = n и определитель матрицы detA  0, мат­ри­ца A на­зывается невырожденной и для нее можно найти об­рат­ную мат­ри­цу. Обратной по от­но­шению к дан­ной мат­ри­це A называется матрица A^-1, которая, бу­ду­чи умно­женной как справа, так и сле­ва на A, дает еди­­ничную матрицу:

.

Матрица A^T, полученная перестановкой строк со столб­ца­ми в мат­­ри­це A, называется транс­по­ни­ро­ван­ной. Квад­ратная мат­ри­ца A на­зы­ва­ет­ся сим­мет­рич­еской, если A^T = A, и ор­то­го­наль­ной, если A^T A = E.

Характеристическим уравнением матрицы A на­­зы­ва­ет­ся матричное уравнение ||A - E|| = 0, в ко­тором _i - соб­ст­вен­ные (или ха­рак­те­рис­ти­чес­кие) числа (или зна­че­ния) мат­­рицы A. Соб­ст­вен­ным вектором, отвечающим соб­ст­вен­­ному чис­лу _i, называется вектор

,

который удов­летворяет матричному уравнению Ax =_i x. Ког­­да говорят о вычислении собст­вен­ных чисел, то раз­ли­ча­ют полную и частичную проблему собст­венных чисел. В пол­ной проблеме вы­чис­ля­ют все собственные числа и со­от­­ветст­ву­ю­щие им собственные векторы матриц, а под час­тич­­­ной про­блемой обычно понимают задачу на­хо­ж­де­ния од­­ного или нескольких собственных чи­сел и со­от­ветс­т­ву­ющих им собственных век­то­ров.

В настоящем параграфе рассматривается не­сколь­­ко эф­фек­тивных алгоритмов, реализующих как операции над мат­­рицами, так и задачи ре­ше­ния полной про­бле­мы соб­ст­вен­ных значений.

Задача определения собственных значений и собст­вен­ных векторов матриц имеет большое зна­че­ние при ре­ше­нии очень широкого спектра за­дач. Методы ре­ше­ния ука­занной за­дачи по типу примененной вы­чис­ли­тельной схе­мы мож­но разделить на пря­мые (точные) и ит­е­ра­ци­он­ные (при­бли­женные).

В прямых методах по не­ко­то­ро­му правилу вы­чис­ля­ют­ся коэффициенты матрицы с заранее из­­вестными свой­ст­ва­ми, а затем собственные зна­че­ния находятся как корни ха­­рак­теристического мно­го­­члена по какому-ли­бо из­вест­но­­му чис­­­лен­ному методу. После этого опре­де­ляются собс­т­­вен­ные векторы, что считается не очень слож­ной за­да­чей.

В итерационных методах коэффициенты ха­рак­те­рис­ти­ческого уравнения не вычисляют, а составляют не­ко­то­рые итерационные по­сле­до­ва­тель­нос­ти, поз­во­ля­ю­щие най­ти одно или несколько, а иног­да и все соб­ст­вен­ные зна­че­ния исходной ма­три­цы А. Ите­­ра­ци­онные ме­то­ды почти всег­­да бо­лее тру­до­ем­кие, од­на­ко они на­деж­нее прямых ме­то­­­дов, так как менее чув­ст­вительны к ошиб­кам округ­ле­ния.

К прямым можно отнести методы Кры­лова, Да­ни­лев­с­ко­го, Самуэльсона и др., а к ите­рационным - сте­пен­ной и ме­­тод Якоби, или, как его еще на­зы­ва­ют, ме­тод вращений. По­­след­ний метод считается на­и­более эф­фек­тивным из всех известных [Kpылов и др., 1972].