5. Гамма распределение

При решении задач математической статистики довольно часто приходится иметь дело с гамма-распределением, которое является обобщением показательно­го распределения и определяется плотностью вероятности

, x ≥ 0, λ > 0, k > 0.

(4.0)

где Г(k) – гамма-функция, определяемая интегралом

(4.0)

и обладающая следующим набором свойств

, для целочисленных аргументов (k>0), .

(4.0)

Гамма-распределение превращается в показательное при k=1.

При поиске числовых характеристик гамма-распределения воспользуемся заменой переменныхt = λ·x

Сопоставляя последний интеграл с определением ( 4 .0), а затем, используя верхнее свойство из ( 4 .0), дляматематического ожидания гамма-распределенияполучаем

.

(4.0)

Найдем второй начальный момент распределения

.

Тогда для дисперсии гамма-распределенияполучаем

.

(4.0)

Примечание: При целочисленном k > 1 гамма-распределение превращается в распределение Эрланга k-го порядка, характеризующее свойства суммы k интервалов между событиями в простейшем пуассоновском потоке событий. Свойства распределения Эрланга будут рассматриваться в п. ???

6. Производящие функции и их применение для расчета числовых характеристик дискретных случайных величин

Расчет числовых характеристик дискретных случайных величин производится в соответствии с выражениями

,	(4.0)
,	(4.0)

т.е предполагает суммирование совокупности слагаемых, количество которых равно числу возможных значений СВ. Если это число невелико, то никаких проблем расчетине вызывает. Однако, часто приходится иметь дело с ДСВ, имеющими от многих десятков до бесконечного числа возможных значений. Применительно к таким ДСВ использование выражений ( 4 .0) и ( 4 .0) оказывается затруднительным. В связи с этим, рассмотрим особый подход к расчету числовых характеристик ДСВ, принимающих лишь неотрицательные целочисленные значения. Он опирается на использованиепроизводящих функций.

Примечание: Ещё один способ альтернативного расчета числовых характеристик СВ, вычисление которых непосредственно по определениям ( 4 .0) и ( 4 .0) затруднительно, предполагает использование аппарата характеристических функций. Свойства характеристических функций СВ будут рассматриваться в п. ???

1. Понятие и свойства производящих функций

Производящей функцией ДСВ, принимающей лишь неотрицательные целочисленные значенияx_i = i, называется функция

,

(4.0)

где коэффициенты p_i равны вероятностям наблюдения соответствующих значений ДСВ, т.е. .

Применительно к значению аргумента z = 1 производящие функции обладают целым набором интересных свойств:

1. Свойство нормировки. Для любой случайной величины

.

(4.0)

2. Связь производной производящей функции с математическим ожиданием ДСВ.

Первая производная по z от производящей функции равна

,

(4.0)

При z = 1 выражение ( 4 .0) приобретает вид

и, с учётом x_i = i, становится идентичным по значению первому начальному моменту СВ ξ, определяемому ( 4 .0).

Итак, математическое ожидание принимающей неотрицательные целочисленные значения ДСВ может быть определено через её производящую функцию по правилу

.

(4.0)

Пример применения правила ( 4 .0) будет приведен в п. 5.6.2.

3. Связь дисперсии ДСВ с её производящей функцией.

Рассмотрим вторую производную от производящей функции

Для аргумента z = 1 она приобретает вид

.

(4.0)

Но, согласно ( 4 .0), при x_i = i первая сумма в ( 4 .0) совпадает по значению со вторым начальным моментом распределения ξ, а вторая сумма есть ничто иное как математическое ожидание.

Таким образом, второй начальный момент СВ ξ может быть рассчитан по её производящей функции как

,

(4.0)

а дисперсия ДСВ связана с производящей функцией правилом

.

(4.0)

4. Расчет моментов распределения более высоких порядков

Можно получить аналогичные ( 4 .0) и ( 4 .0) формулы взаимосвязи характеристической функции с моментами более высоких порядков, однако эти формулы оказываются весьма громоздкими. Остановимся на соотношении, определяющем расчет третьего начального момента распределения СВ ξ

.

(4.0)