![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •Системы случайных величин
- •2. Функция распределения системы двух случайных величин
- •3. Плотность распределения системы двух случайных величин
- •4. Законы распределения отдельных величин, входящих в систему. Условные законы распределения
- •5 Зависимые и независимые случайные величины
- •6. Числовые характеристики системы двух случайных величин. Корреляционный момент. Коэффициент корреляции
- •7. Система произвольного числа случайных величин
- •8. Числовые характеристики системы нескольких случайных величин
2. Функция распределения системы двух случайных величин
Функцией
распределения
системы двух
случайных величин
называется
вероятность
совместного
выполнения двух
неравенств
и
:
.
( .2.1)
Если
пользоваться для геометрической
интерпретации системы образом случайной
точки, то функция
распределения
есть не что иное, как
вероятность
попадании
случайной точки
в бесконечный квадрант с вершиной в
точке
,
лежащий левее и ниже ее (рис.2.1). В
аналогичной интерпретации функция
распределения одной случайной величины
- обозначим ее
- представляет собой вероятность
попадания
случайной точки в
полуплоскость,
ограниченную справа абсциссой
х
(рис. 2.2); функция
распределения
одной величины
- вероятность попадания в полуплоскость,
ограниченную ординатой у (рис.2.3).
Рис.2.1
В
5.2 мы привели основные свойства функции
распределения
для одной
случайной
величины.
Сформулируем аналогичные свойства для
функции распределения
системы
случайных величин
и снова
воспользуемся геометрической
интерпретацией для наглядной иллюстрации
этих свойств.
1.
Функция
распределения
есть
неубывающая функция обоих своих
аргументов, т. е.
При
;
При
.
В
этом свойстве функции
можно наглядно убедиться, пользуясь
геометрической интерпретацией функции
распределения
как вероятности
попадании в квадрант с вершиной
(рис.2.1). Действительно, увеличивая
(смещая правую границу квадранта вправо)
или увеличивая
(смещая верхнюю границу вверх), мы,
очевидно, не можем уменьшить
вероятность
попадания в
этот квадрант.
Рис.2.2 Рис.2.3
2.
Повсюду на
функция распределения равна нулю:
.
В
этом свойстве мы наглядно убеждаемся,
неограниченно отодвигая влево правую
границу квадранта
или вниз его верхнюю границу
или делая это одновременно с обеими
границами; при этом
вероятность
попадания в квадрант стремится к нулю.
3.
При одном из аргументов, равном
,
функция распределил системы превращается
в функцию
распределения случайной величины,
соответствующей другому аргументу:
,
где
- соответственно функции распределения
случайных,
функция
распределения
величин
и
.
В
этом свойстве функции распределения
можно наглядно убедиться, смещая ту или
иную из границ квадранта на
;
при этом в пределе квадрант превращается
в полуплоскость,
вероятность
попадания в
которую есть функция распределения
одной из величин, входящих в систему.
4.
Если оба аргумента равны
,
функция
распределения
системы равна
единице:
.
Действительно,
при
,
квадрант с вершиной
в пределе обращается во всю плоскость
,
попадание в которую есть достоверное
событие.
При рассмотрении законов распределения отдельных случайных величин ( 5) мы вывели выражение для вероятности попадания случайной величины в пределы заданного участка. Эту вероятность мы выразили как через функцию распределения, так и через плотность распределения.
Аналогичным
способом для системы двух
случайных
величин
является вопрос
о вероятности попадания случайной точки
в пределы заданной области
на плоскости
(рис. .2.4).
Рис .2.4
Условимся
событие, состоящие в попадании случайной
точки
в область
,
обозначать символом
.
Вероятность попадания случайной точки в заданную область выражаются наиболее просто в том случае, когда эта область представляет собой прямоугольник со сторонами, параллельными координатным осям.
Выразим
через функцию
распределения
системы
вероятность попадания случайной точки
в прямоугольник
,
ограниченный абсциссами
и
и ординатами
и
(рис .2.5).
При
этом следует условиться, куда мы будем
относить границы прямоугольника.
Аналогично тому, как мы делали для одной
случайной
величины,
условимся включать в
прямоугольник
его нижнюю и левую границы и не включать
верхнюю и правую. Тогда событие
будет равносильно произведению двух
событий:
и
.
Выразим
вероятность
этого события
через функцию
распределения
системы. Для
этого рассмотрим на плоскости
четыре бесконечных квадранта с вершинами
в точках
;
;
и
(рис.2.6).
Рис .2.5. Рис .2.6
Очевидно,
вероятность
попадания в
прямоугольник
равна вероятности
попадания в
квадрант
минус вероятность попадания в квадрант
минус вероятность попадания в квадрант
плюс вероятность
попадания в квадрант
(так как мы дважды вычли вероятность
попадании в этот квадрант). Отсюда
получаем формулу, выражающую вероятность
попадания в
прямоугольник
через
функцию
распределения
системы:
.
( .2.2)
В дальнейшем, когда будет введено понятие плотности распределения системы, мы выведем формулу для вероятности попадания случайной точки в область произвольной формы.