Петраков С.Н. Механизмы планирования в активных системах - неманипулируемость и множества диктаторства. М., 2001. 135 с
.pdfПусть i таково, что s1i = 0 |
и si1 > si2 , то есть i Î(Z I L) , тогда при |
|||||||||||||||||
любом |
t Î(0,1], |
|
|
|
|
si (t) < 0 . |
Аналогично |
|||||||||||
"t Î (0,1], "i Î (O I R) ® si (t) > 1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Для всех t Î (0,α) |
верны следующие оценки |
|||||||||||||||||
"i Î A(ρ1) ® s (t) £ s1 + |
min(ε,1) |
× |
|
s1 |
- s2 |
|
£ s1 |
+ ε < 0 , |
||||||||||
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||
i |
i |
max |
si1 - si2 |
|
|
i |
|
|
i |
|
i |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
i I |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
"i Î M (ρ1) ® s (t) > s1 - ε > 0 , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
i |
i |
|
|
min(ε,1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
"i Î(Z I R) ® 0 < s (t) £ 0 + |
|
× |
|
s1 |
|
- s2 |
|
|
£ min(ε,1) £1, |
|||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
i |
|
max |
|
si1 |
- si2 |
|
|
i |
|
i |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
"i Î(O I L) ®1 > si (t) ³ 0 , |
|
i I |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
"i Î(O I E) ® si (t) = 1, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
"i Î(Z I E) ® si (t) = 0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Тогда "t Î (0,α) ® s(t)Î Sρ~ . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Q. E. D. |
Утверждение 3.2.4. "s1, s2 Î R2 , множество â(s1, s2 ) состоит из одного элемента.
Доказательство: Пусть есть два вектора |
|
ρ1, ρ 2 Îâ и пусть существует |
||||||||||||||||||||||||||||||
j Î A(ρ1) |
такой, |
что |
j Ï A(ρ2 ) , |
тогда |
j ÎC(ρ2 ) |
либо |
|
j ÎM(ρ2) . Но |
||||||||||||||||||||||||
j Î M (ρ2) |
невозможно, так как из того, |
|
что [s1, s2 ] Ì Qρ1 следует, что |
|||||||||||||||||||||||||||||
[s1, s2 ] Ì Qρ 2 , |
|
что s j (t) = 1, t Î[0,1] . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
j ÎC(ρ |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
~ |
|
такой, |
|
|
что |
~ |
|
|
|
2 |
) U{ j} , |
||||||
|
) . Рассмотрим вектор ρ |
|
|
|
A(ρ) = A(ρ |
|
||||||||||||||||||||||||||
~ |
(ρ |
2 |
|
|
~ |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
2 |
] Ì Qρ 2 , то |
|
|
|||||||
M (ρ) = M |
|
) , C(ρ) = C(ρ |
|
) \ { j}. Так как [s , s |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
[s1 , s2 ] {s Î Rn : s |
|
|
|
|
2 |
) |
Î R |
|
C(ρ 2 ) |
|
, s |
2 |
) |
|
= sρ 2 |
2 |
) |
} = |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C(ρ |
|
|
|
|
|
|
−C(ρ |
|
|
|
|
−C(ρ |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
~ |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
ρ |
2 |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
= {s Î R |
: sC(ρ) Î R |
C(ρ) |
, s j |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
Î R , s−C(ρ 2 ) = s−C(ρ 2 )} = |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
~ |
|
|
|
|
~ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
~ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
= {s Î Rn |
: s |
~ |
Î R |
|
C(ρ) |
|
, s |
j |
Î R1, s |
~ |
|
= sρ |
~ |
|
|
} . |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
C(ρ ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−C(ρ )\{ j} |
|
|
|
|
−C(ρ )\{ j} |
|
|
|
121
|
|
Из того, что |
|
~ |
s j (t) = 0 . Тогда |
1 |
2 |
] Qρ~ . |
||||||||||||
|
|
j Î A(ρ) следует, что |
[s , s |
|
||||||||||||||||
Но |
|
~ |
|
> |
|
- C(ρ |
2 |
) |
|
, в то время, как |
ρ |
2 |
Î Argmax |
|
- C(ρ) |
|
. Получили |
|||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
- C(ρ) |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
~ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ρ |
|
|
|
|
|
противоречие. Значит ρ2 Î Argmax - C(ρ) =1, множество â состоит из
~
ρ
одного элемента. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Q. E. D. |
||
|
|
|
|
|
|
|
для любых s Î Rn . |
|||||
Лемма 3.2.1. G (s) |
не убывает по s |
|
||||||||||
|
|
i |
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
Доказательство: Рассмотрим произвольные вектор |
s Î Rn |
и АЭ i I . |
||||||||||
Существует единственный вектор состояний |
ρ ÎÃn |
такой, что s Î Sρ . |
||||||||||
Если i ÎC(ρ) то |
G (s) = g |
(sρ |
|
,s |
|
) . |
Рассмотрим произвольный |
|||||
|
|
|
i |
i |
−C(ρ) |
C(ρ) |
|
|
|
|
||
si¢ Î R1 . |
|
|
Если |
|
|
|
|
|
si £ si¢ £1, |
то |
||
Gi (si¢, s−i ) = gi (s−ρC(ρ), sC(ρ)\{i}, si¢) ³ Gi (s) = gi (s−ρC(ρ), sC(ρ)) |
так как g(s) |
|||||||||||
частично монотонна. При |
si¢ >1, |
вектор |
(si¢, s−i ) принадлежит Sρ′ , где |
|||||||||
вектор ρ |
¢ |
|
¢ |
|
|
|
|
|
¢ |
|
|
¢ |
|
таков, что C(ρ ) = C(ρ) |
\{i} , M (ρ ) = M (ρ) U{i}, |
A(ρ ) = A(ρ) . |
|||||||||
При |
|
|
|
|
|
таких |
|
|
|
|
si¢ |
Gi (si¢, s−i ) = gi (s−ρC(ρ), sC(ρ)\{i},1) + (si¢ -1) > Gi (s) = gi (s−ρC(ρ), sC(ρ)) . |
|
|
|
|
||||||||||||||
Аналогично доказывается, что Gi (si¢, s−i ) £ Gi (s) |
при si¢ £ si . |
|
|
|
|
|
||||||||||||
Если i C(ρ) , то без потери общности положим i Î M (ρ) . Из |
||||||||||||||||||
i Î M (ρ) |
следует, что si |
>1. Если si¢ > si , то Gi (si¢, s−i ) - Gi (s) = si¢ - si |
> 0 . |
|||||||||||||||
Если si |
> si′ > 1, то |
Gi (si¢, s−i ) - Gi (s) = si¢ - si |
< 0 . |
Поэтому, при |
si¢ >1 |
|||||||||||||
функция Gi (s) |
не убывает. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Если |
si¢ Î[0,1], |
то (si′, s−i )Ï Sρ′ , где |
ρ¢ |
определяется так, |
|
что |
||||||||||||
¢ |
|
\{i}, |
|
¢ |
|
|
|
|
¢ |
|
|
|
При |
|
этом |
|||
M (ρ ) = M (ρ) |
C(ρ ) = C(ρ) U{i} , |
A(ρ ) = A(ρ) . |
|
|||||||||||||||
Gi (si, s−i ) = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= gi (s−ρC(ρ), sC(ρ)\{i},1) + (si -1) > Gi (si¢, s−i ) = gi (s−ρC(ρ)\{i}, sC(ρ), si¢) . |
|
|
|
|
||||||||||||||
Если |
si¢ < 0 , |
то |
(si′, s−i )Ï Sρ′ , |
где ρ¢ |
определяется так, |
|
что |
|||||||||||
¢ |
|
|
|
|
¢ |
(ρ) U{i} , |
¢ |
|
|
|
|
|
предыдущего |
|||||
M (ρ ) = M (ρ) |
\{i}, C(ρ ) = C |
A(ρ ) = A(ρ) . Из |
||||||||||||||||
пункта G (s) > g |
(sρ |
|
, s |
, 0) > g |
(sρ |
|
, s |
ρ) |
, 0) + s′ − 0 = G (s′, s |
−i |
) . |
|||||||
|
i |
i |
−C(ρ)\{i} |
C(ρ) |
i |
−C(ρ)\{i} |
|
C( |
|
i |
i i |
|
|
122
|
|
|
|
|
Таким образом, G(s) |
|
частично монотонна во всем Rn . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Лемма 3.2.2. G(s) непрерывна в Rn . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Q. E. D. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
Доказательство: Обозначим |
|
|
|
|
C(ρ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
= {ρ Î Rn : s |
|
Î[0,1] |
|
|
, s |
|
|
|
|
|
³ sρ |
|
|
, s £ s A |
|
} , |
|
|
|
|
|
|
|
|
где |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
S |
ρ |
|
M ( |
ρ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C(ρ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
M (ρ) |
|
|
A(ρ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
запись |
|
s |
M (ρ) |
|
³ s |
ρ |
|
|
означает |
|
"i Î M (ρ), s ³ sρ , |
|
|
аналогично |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
M (ρ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
s |
A(ρ) |
|
£ s |
ρ |
|
|
|
означает "i Î M (ρ), s |
£ sρ . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
A(ρ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
Функции |
|
s |
|
|
|
- sρ |
|
|
|
|
|
|
и |
g(s |
|
, sρ |
|
) |
|
непрерывны |
|
в |
|
|
|
|
. |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
−C(ρ) |
|
|
|
|
|
|
ρ) |
|
|
|
S |
ρ |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−C(ρ) |
|
|
|
|
|
|
|
C( |
|
|
|
−C(ρ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
Тогда G(s) |
|
|
непрерывна как суперпозиция непрерывных функций. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
Рассмотрим произвольный |
|
s Î Rn . Из утверждения 3.2.2. найдется |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Ã0 ÍÃ и |
ε0 > 0 такие, что |
|
"ε Î(0, ε0 ) |
и |
|
|
"ρ ÎÃ0 ®Uε (s) I Sρ ¹ Æ и |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
"ρ ÎÃ0 ®Uε (s) I Sρ = Æ . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
Положим |
|
εk |
|
= min(ε0,1 k), k = N . |
При таком |
определении |
|
|
εk , |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
"εk > 0, "ρ ÎÃ0 ®Uε (s) I Sρ ¹ Æ , |
|
|
то выберем |
для |
каждого |
ρ ÎÃ0 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
последовательность |
|
sk, ρ |
|
такую, |
|
|
что |
|
sk, ρ U |
εk |
(s) I S |
ρ |
. Так |
|
|
как |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
sk, ρ ® s |
|
|
|
при |
|
|
|
k → ∞ |
|
|
и |
|
|
|
для |
|
всех |
|
ρ , sk, ρ S |
ρ |
, |
|
|
|
|
то |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sk, ρ |
|
> sρ |
|
|
|
|
, sk, ρ |
|
> sρ |
|
, sk, ρ |
|
Î[0,1] |
|
C(ρ) |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
M (ρ) |
|
|
M (ρ) |
|
A(ρ) |
|
A(ρ) |
|
C(ρ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
По |
свойствам |
|
|
предельных |
|
|
переходов |
|
|
|
sM (ρ) |
³ sMρ (ρ), sA(ρ) £ sAρ(ρ) , |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
s |
|
|
Î[0,1] |
|
C(ρ) |
|
. То есть s Î |
|
|
|
, "ρ ÎÃ . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
C(ρ) |
|
|
|
S |
ρ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В силу непрерывности G(s) |
на |
|
ρ |
|
можно |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
S |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
"ρ ÎÃ0 , "ε Î(0, ε0 ) $ε Î(0, ε0 ) $δ (ρ) > 0 :"s¢ÎUδ (ρ) (s) I |
|
|
ρ ® |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
S |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Положим δ = min δ ρ . Так как {Sρ }ρn |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
→ |
|
G(s) − G(s′) |
|
< ε . |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
образует разбиение Rn , можно |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ρ0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
записать |
|
|
|
|
|
U(Uε (s) I Sρ ) =Uε (s) . |
|
|
|
|
Из |
|
утверждения |
|
|
|
|
3.2.2 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ρn |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
"ρ ÏÃ0 , "ε Î(0, ε0 ),Uε (s) I Sρ = Æ , то |
U(Uδ (s) I |
|
ρ ) = Uδ (s) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
S |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ρ0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
123
¢ |
ÎUδ (s) ® |
|
¢ |
|
< ε . |
|
|
||||
"ε Î (0, ε0 ) $δ > 0 :"s |
|
G(s) - G(s ) |
|
||
|
|
|
|
|
Q. E. D. |
Лемма 3.2.3. Если g(s) непрерывна и частично монотонна, то "r Î Rn $s Î Rn такой, что G(s) = r .
Доказательство: Возьмем произвольный r Î Rn , тогда существует L > 0
такое, |
что "i Î I, |
|
ri |
|
< L . В силу |
непрерывности |
g(s) ограничена и |
||||
|
|
||||||||||
M > |
0 : i I , "s Î S, |
|
gi (s) |
|
< M . |
Обозначим |
L0 = max(L, M ) +1 3 . |
||||
|
|
||||||||||
Определим следующие множества |
|
|
W= {s Î Rn : "i Î I,-3L0 < s < 3L0} ,
W={s Î Rn : "i Î I,-3L0 £ s £ 3L0} ,
∂W = {s Î Rn :$K Í I :Æ Ì K(s) Í I, "i Î K, |
|
s |
|
= 3L, "i Î I \ K, |
|
s |
|
|
< 3L} . |
||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
Возьмем произвольный s ∂Ω . Для этого s существует ρ ÎÃn |
такой, что |
||||||||||||||||||||
s Î Sρ . |
Рассмотрим |
некоторый |
АЭ |
j Î K(s) , |
тогда |
|
|
|
s j |
|
= 3L0 . |
||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||||
Предположим, что s j |
= 3L0 , тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
G j (s) = 3L0 − sρj |
+ g j (sC(ρ), s−ρC(ρ)) > 3L0 −1 − 2M = 3max(L,M ) +1−1− 2M > |
||||||||||||||||||||
|
> max( L, M ) > L > rj . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Аналогично получим оценку G j (s) < -L < rj |
при |
s j = −3L0 . |
|
Таким |
|||||||||||||||||
образом |
для |
любого |
s ∂Ω |
найдется |
jÎI |
такой, |
|
что |
|||||||||||||
sign(Gj |
- rj ) = sign(s j |
- 0) ¹ 0 , так как L0 > 0 , и векторные поля G(s) - r |
|||||||||||||||||||
и s - 0 |
направлены не противоположно на |
|
|
∂Ω . При этом для любого |
|||||||||||||||||
s ∂Ω |
существует jÎI такой, что |
G j (s) - rj ¹ 0 |
и s j |
¹ 0 . Из того, что |
|||||||||||||||||
векторные поля на ∂Ω в ноль не |
обращаются |
и не |
|
противоположно |
направлены следует [8], что они гомотопны и имеют одинаковое вращение γ ((s - 0),∂W) =1. По теореме о нуле векторного поля [8] существует s Rn такой, что G(s) − r = 0 и G(s) = r .
Q. E. D.
Теорема 3.2.1. Пусть процедура планирования g : S ® Rn непрерывна в S
и частично монотонна в S. Тогда для любого ϕ Î Rn с вектором точек пиков r Î Rn существуют равновесие Нэша s (r) и вектор состояний
124
ρ ÎÃn такие, что s (r) = (s−ρC(ρ),sC(ρ) ) , gC(ρ)(s (r)) = rC(ρ) , gM (ρ) (s (r)) < rM (ρ)
где sC(ρ) Î[0,1]C(ρ) . При этом и gA(ρ)(s (r)) > rA(ρ) .
Доказательство: |
|
|
В |
силу |
|
|
|
того, |
|
|
что |
рассматриваемое |
отображение |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
g : S ® Rn |
|
|
|
|
|
удовлетворяет |
|
|
|
|
|
условиям |
|
|
|
|
|
|
леммы |
|
|
|
|
|
3.2.3, |
||||||||||||||||||||||||||||||||
"r Î Rn $s Î Rn :G(s) = r . |
|
Тогда |
|
|
|
ρ n : s Sρ . |
Рассмотрим |
|
вектор |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
s* = (s |
|
|
|
|
, sρ |
|
|
) и получим следующие результаты: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
C(ρ) |
|
−C(ρ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
r |
|
|
= G |
|
|
|
|
(s) = G |
|
(s |
|
|
|
|
, s |
−C(ρ) |
) = g |
C(ρ) |
(s |
|
|
, sρ |
|
|
|
|
) = g |
C(ρ) |
(s |
(r)) , |
|||||||||||||||||||||||||||
C(ρ) |
|
|
|
C(ρ) |
|
|
|
|
|
C(ρ) |
C(ρ) |
|
|
|
|
|
|
|
C(ρ) |
|
|
−C(ρ) |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
r |
|
|
= G |
M (ρ) |
(s) = g |
M (ρ) |
(s |
|
ρ) |
, s |
ρ |
|
|
|
) + s |
|
|
− sρ |
|
|
> g |
M (ρ) |
(s |
|
|
, s |
ρ |
|
) = |
||||||||||||||||||||||||||||
M (ρ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C( |
|
|
−C(ρ) |
|
|
M (ρ) |
|
|
M (ρ) |
|
|
|
|
C(ρ) |
|
−C(ρ) |
|
||||||||||||||||||||||||||||||
= gM (ρ) (s (r)), |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
r |
|
|
< g |
A(ρ) |
(s (r)) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
A(ρ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
Пусть i Î A(ρ) , тогда |
|
|
r Î g(s (r)) . При этом |
sρ = s =1 |
и в силу |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
частичной монотонности для любых |
s |
i |
Î[0,1], |
g |
|
(s , s |
) £ g(s ) < r . Из |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
i |
|
|
|
−i |
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|||
того, |
|
|
|
|
|
|
|
|
что |
|
|
|
|
|
|
g |
(s , s |
) £ g |
(s ) < r |
|
|
|
|
|
|
следует, |
|
|
|
|
|
|
что |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
(s ), r ) ³ ϕ |
|
|
|
(s ,s |
|
i |
|
|
i |
|
|
|
−i |
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
ϕ |
(g |
i |
(g |
|
|
), r ) . |
|
|
Рассматривая |
|
аналогичным |
|
|
|
образом |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
i |
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
i |
|
i |
i |
|
−i |
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
i ÎC(ρ) , |
i Î A(ρ) |
|
убеждаемся, что s - равновесие Нэша при данном r. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Таким образом, утверждение доказано. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Q. E. D. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
Лемма 3.3.1. Пусть выполнено А.3.3.1, тогда "ρ ÎÃn , Dρ0 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
= G(Sρ ) . |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Доказательство: Пусть s ÎSρ |
|
тогда по определению G(s) |
имеем |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
G |
|
|
|
(s) = g |
C(ρ) |
(sρ |
|
, s |
|
|
|
|
)Î g |
C(ρ) |
(sρ |
|
|
,[0,1] |
|
C(ρ) |
|
) , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
C(ρ) |
|
|
|
|
|
|
|
−C(ρ) |
|
|
C(ρ) |
|
|
|
|
|
−C(ρ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
G |
|
ρ) |
(s) = g |
M (ρ) |
(sρ |
|
|
, s |
|
|
|
|
|
) + s |
M (ρ) |
- sρ |
|
|
> g |
M ( |
ρ) |
(s |
ρ |
|
|
, s |
C(ρ) |
) = |
|||||||||||||||||||||||||||||
M ( |
|
|
|
|
|
|
|
|
−C(ρ) |
|
C(ρ) |
|
|
|
|
|
M (ρ) |
|
|
|
|
−C(ρ) |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
= xρ |
|
|
|
|
(g |
C( |
ρ) |
(s |
ρ |
|
|
|
, s |
|
|
|
)) , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
M (ρ) |
|
|
|
−C(ρ) |
|
C(ρ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
125
|
|
G |
A(ρ) |
(s) < xρ |
(g |
C(ρ) |
(s |
ρ |
|
, s |
ρ) |
)). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
A(ρ) |
|
|
|
−C(ρ) |
C( |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Таким образом G(s) Dρ0 |
и G(Sρ ) Dρ0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
Пусть теперь |
r D0 , |
|
докажем, |
что существует s |
C(ρ) |
Î[0,1] |
|
C(ρ) |
|
|
такой, |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ρ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
что g |
C(ρ) |
(s |
ρ |
|
, s |
C(ρ) |
) = r |
|
|
. При этом из условия А.3.3.1 следует, что |
|||||||||||||||||||||
|
|
−C(ρ) |
|
|
|
C(ρ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
g |
C(ρ) |
(sρ |
|
|
, s |
ρ) |
) = xρ (r |
|
) . Определим s |
M (ρ) |
= r |
|
- xρ |
(r |
|
) |
|||||||||||||||
|
−C(ρ) |
|
C( |
|
|
|
|
C(ρ) |
|
|
|
|
|
|
M (ρ) |
|
|
M (ρ) |
C(ρ) |
|
|||||||||||
по определению Dρ0 . |
|
Аналогично |
определим |
sA(ρ) > sAρ(ρ) |
и |
по |
|||||||||||||||||||||||||
определению Sρ такой s |
принадлежит Sρ . Таким образом, Dρ0 G(Sρ ) |
||||||||||||||||||||||||||||||
и поэтому Dρ0 = G(Sρ ) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Q. E. D. |
Лемма 3.3.2. Пусть выполнены условия 3.3.1-3.3.3, тогда для любого i I
справедливы
n |
|
0 |
|
|
|
M i |
−1 |
|
|
|
а) ρ |
:i M (ρ),r Dρ |
выполняется ri > Gi (si |
, GM i (r−i )) , |
|
|
|||||
б) ρ n :i C(ρ), r D0 |
выполняется G (sM i |
, G−1i |
(r |
)) ³ r ³ G (sAi |
, G−1i |
(r |
)) , |
|||
|
ρ |
|
i i |
M |
−i |
|
i i i |
A |
−i |
|
n |
|
0 |
|
Ai |
|
−1 |
|
|
|
|
в) ρ |
:i A(ρ),r Dρ |
выполняется Gi (si |
, GAi (r−i )) > ri . |
|
|
|
Доказательство: Рассмотрим некоторые ρ ÎÃn и r Dρ0 . По лемме
3.2.3 существует s Î Sρ |
такой, что G(s) = r . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
а) |
|
|
Пусть |
|
|
|
|
i Î M (ρ) , |
|
тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
si > siM i |
и |
||||||||||||
G (sM i ,s |
−i |
) = G (s) − s + sM i |
< G (s) = r |
и |
|
|
G |
|
(sM i , s |
−i |
) = r |
. |
Тогда |
|||||||||||||||||||
i i |
|
|
|
|
i |
|
|
|
i |
|
|
i |
|
i |
i |
|
|
|
|
|
|
−i |
i |
|
−i |
|
|
|||||
G(s |
M i |
,s |
−i |
) = G(s |
M i |
,G |
−1 |
(r |
)) и r > G (s |
M i |
,G |
−1 |
(r |
)) . |
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
M |
i |
|
|
M |
i |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
i |
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
−i |
|
i |
i i |
|
|
|
|
|
−i |
|
|
|
|
|
||||||||
б) Если i ÎC(ρ) , то si |
Î[0,1] . По условию А.3.3.3 можно записать, что |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
G (s |
M i |
,G |
−1 |
(r |
|
)) ³ G (s) = r ³ G (s |
Ai |
,G |
−1 |
(r |
)) . |
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
i i |
|
|
M |
|
−i |
|
|
i |
i |
i i |
|
|
|
A |
|
|
−i |
|
|
|
|
|
|||||
в) Случай, когда i Î A(ρ) |
доказывается аналогично а). |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
Теорема |
|
|
3.3.1. Пусть |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Q. E. D. |
||||||||||
|
|
|
для всех элементов функции предпочтений |
|||||||||||||||||||||||||||||
ϕi ÎGSP . |
|
Пусть |
|
g(s) |
непрерывна и |
|
частично |
монотонна |
|
в S и |
126
выполнены предположения А.3.3.1-3.3.3, тогда верны следующие утверждения:
|
|
|
1) |
|
Существует |
выбор равновесия |
s : Rn → S |
такой, |
что для |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
каждого r Rn , |
s (r) |
|
- равновесие Нэша в механизме |
g : S → Rn |
|
|
|
и для |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
любых |
|
|
ρ n |
|
|
|
и |
|
|
|
|
r Dρ введенные |
|
|
|
в |
|
|
А.3.3.1 |
|
|
|
функция |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
xρ (r |
|
) = g(s (r)) , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где |
||||||||||||||||
|
|
C(ρ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
D |
ρ |
= {r Rn : r |
|
< g |
M (ρ) |
(s (r)), r |
|
|
= g |
C(ρ) |
(s (r)), r |
|
|
|
|
> g |
A(ρ) |
(s (r))} . |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
M (ρ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
C(ρ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
A(ρ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
2) |
Разбиения |
B |
и B0 |
совпадают |
и |
|
|
соответствующий |
g(s) |
прямой |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
механизм неманипулируем. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r Rn |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
Доказательство: 1) из теоремы 3.2.1 для любого |
|
|
|
существует |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
равновесие |
|
Нэша |
|
s (r) |
|
|
|
и |
при |
|
этом |
найдется |
ρ n |
|
|
|
такой, что |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
s (r) = (sρ |
|
|
|
|
, s |
|
|
|
) , |
|
|
|
где |
|
s |
|
|
|
[0,1] |
|
C(ρ) |
|
|
|
|
и |
|
при |
|
|
|
|
этом |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
−C(ρ) |
C(ρ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C(ρ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
r |
|
ρ) |
= g |
C( |
ρ) |
(s (r)) g |
C(ρ) |
(sρ |
|
, [0,1] |
|
C(ρ) |
|
) , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
C( |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−C(ρ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
r |
|
|
> g |
M (ρ) |
(s |
(r)), r |
|
|
|
< g |
A(ρ) |
(s (r)) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
M (ρ) |
|
|
|
|
|
|
|
A(ρ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
Так как при выполнении А.3.3.1 r |
|
|
|
g |
C(ρ) |
(sρ |
|
|
|
,[0,1] |
|
C(ρ) |
|
) |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C(ρ) |
|
|
|
−C(ρ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
определена |
|
|
|
|
и |
|
единственна |
|
функция |
|
|
|
xρ (r |
|
|
|
) |
|
такая, |
|
|
|
что |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C(ρ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
xρ |
|
(r |
|
|
) = r |
ρ) |
|
. |
|
|
При |
|
|
этом |
|
g(s (r)) = x |
ρ |
|
(r |
|
) |
|
|
в |
|
|
|
силу |
|||||||||||||||||||||||||||||
C(ρ) |
C(ρ) |
|
|
|
|
C( |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C(ρ) |
|
|
C(ρ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
единственности |
xρ (r |
|
|
) |
|
|
для |
|
всех |
|
|
r |
ρ) |
g |
C(ρ) |
(sρ |
|
|
|
,[0,1] |
|
C(ρ) |
|
) . |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C(ρ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C( |
|
|
|
−C(ρ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
Тогда |
|
|
если |
|
|
|
r D |
ρ |
, |
|
то |
|
|
|
|
|
r |
ρ) |
g |
C(ρ) |
(sρ |
|
|
|
,[0,1] |
|
C(ρ) |
|
) , |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C( |
|
|
|
−C(ρ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
r |
|
|
> x |
ρ |
|
|
|
(r |
|
|
) , |
r |
|
|
|
|
< xρ |
|
(r |
|
|
|
) |
и первое утверждение теоремы |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
M (ρ) |
|
M (ρ) |
|
C(ρ) |
|
|
|
A(ρ) |
|
|
|
A(ρ) |
|
C(ρ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
доказано. Кроме этого видно, что Dρ Dρ0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
2) |
Так как для любого |
|
r Rn |
s (r) - равновесие Нэша в механизме |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
g : S → Rn , |
|
то |
B |
|
|
является |
разбиением |
|
|
Rn |
и |
|
поэтому |
|
|
для |
|
любых |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ρ1, ρ2 n |
верно D |
1 I D |
ρ |
2 |
= . Докажем, что для любых ρ1, ρ2 n |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ρ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
верно |
также, |
|
что |
|
|
D0 |
I D0 |
= . |
Допустим, что |
это |
не |
|
так, |
|
|
|
тогда |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ρ1 |
|
|
|
|
ρ 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
127
найдутся |
различные |
ρ1, ρ2 ÎÃn : |
Dρ01 I Dρ0 2 ¹ Æ и |
следовательно |
||||
найдется |
|
j I |
такой, что |
ρ1j = ρ 2j . |
Рассмотрим |
варианты а) |
||
ρ1j = c, ρ |
2j |
= m; |
б) |
ρ1j = c, ρ2j |
= a; в) |
ρ1j |
= m, ρ 2j = a . |
Все остальные |
варианты сводятся к этим трем и кроме этого доказательства вариантов б) и в) аналогичны, поэтому рассмотрим варианты а) и б).
а) для |
ρ1 , |
i ÎC(ρ1) , "r¢Î D0 |
, |
G (sM i |
,G |
−1i |
(r¢ |
)) ³ r¢ ³ G (s Ai |
,G−1i |
(r¢ |
)) |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ρ1 |
|
i i |
M |
|
−i |
|
|
i |
i i |
A |
−i |
|
|||
и |
для |
A2 , |
|
i ÎC(ρ2 ) , |
"r¢¢Î D0 |
, |
G (sM i ,G−1i (r¢¢ )) < r¢¢ . |
И |
если |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ρ 2 |
|
i |
|
i |
|
|
M |
−i |
|
i |
|
|
|
D0 |
I D0 |
¹ Æ |
|
|
то |
|
|
найдется |
r Î D0 |
|
I D0 |
. |
Из |
|
того, |
что |
|||||||||||||
ρ1 |
|
|
|
ρ 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ρ1 |
|
ρ 2 |
|
|
|
|
|
|
|
||
r Î D |
0 |
, r £ G (s |
M i |
,G |
−1 |
|
)) |
а |
из |
|
того, |
что |
r Î D |
0 |
следует |
||||||||||||||
ρ1 |
|
M |
i (r |
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
i |
|
i |
i |
|
|
|
−i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
M 2 |
|
|
|
||||
r £ G (s |
M i |
,G |
−1 |
(r |
|
)) . Получили противоречие. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
i |
M |
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
i |
|
i |
|
|
|
−i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
б) Воспользуемся теми же соображениями, что и в а), при этом
неравенства |
для r Î D0 |
|
и |
r Î D0 |
и |
будут выглядеть |
следующим |
|||||
|
|
ρ1 |
|
|
ρ 2 |
|
|
|
|
|
|
|
образом: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r > G (sM i |
,G−1i (r¢ |
|
)) ³ G (sAi |
,G−1i (r¢ |
)) > r . |
|
|
|||||
i |
i i |
M |
−i |
|
i i |
A |
−i |
|
i |
|
|
|
Получаем противоречие и случай б) доказан. |
|
Dρ Í Dρ0 , |
|
|
||||||||
Из |
части |
1) |
доказательства |
имеем |
при |
этом |
||||||
"ρ1, ρ2 ÎÃn выполнено |
D01 |
I D0 2 = Æ . Допустим, что Dρ0 ¹ Dρ |
для |
|||||||||
|
|
|
|
|
ρ |
ρ |
|
|
|
|
|
|
некоторого |
ρ ÎÃn , тогда существует |
r Î Dρ0 |
такой, что r Ï Dρ . Так как |
|||||||||
B - разбиение Rn , то найдется ρ¢ÎÃn |
такой, |
что r Î Dρ′ , но так как |
||||||||||
Dρ′ Í Dρ0′ , |
то r Î Dρ0 I Dρ0′ |
|
и |
D01 I D0 2 |
¹ Æ . |
Получили противоречие, |
||||||
|
|
|
|
|
|
ρ |
ρ |
|
|
|
|
|
значит B = B0 .
Все условия теоремы 3.1.1 |
выполнены, поэтому соответствующий |
|
g : S ® Rn |
прямой механизм |
неманипулируем и существует |
эквивалентный ему прямой механизм g(s (r)) .
Q. E. D.
128
Лемма 1. Пусть A |
- квадратная матрица размерности n× n . Для |
|||||
заданного |
вектора |
γ ÎÃт−1 определим |
квадратную |
матрицу Aγ |
||
размерности n× n как матрицу, |
составленную из элементов матрицы |
|||||
AI|C(γ ) и |
EI|−C(γ ) , |
где |
AK|J , |
K, J I |
обозначает |
подматрицу |
размерности K ´ J матрицы A со столбцами, соответствующими
элементам множества J , и строками, соответствующими элементам множества K .
Справедливо следующее равенство
A |
|
- Aγ |
|
|
|
|
[Aγ |
|
|
|
|
|
|
]−1 A |
|
|
|
|
|
|
= det(AC(γ )U{i}|C(γ )U{i}) . |
|
|
||||||||||||||||
{i}|{i} |
|
{i}|I \{i} |
I \{i}|I \{i} |
I \{i}|{i} |
|
|
|
|
det(AC(γ )|C(γ ) ) |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Доказательство. |
|
|
|
|
ì(-1)il + jk M |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
l, k |
(A |
|
|
|
) |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
[Aγ |
|
|
|
|
]−1 |
|
|
|
|
ï |
|
|
|
|
|
|
|
C(γ )|C(γ ) |
|
, l ÎC(γ ); |
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
= |
ï |
|
det(A |
|
|
|
|
|
|
|
) |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
I \{i}|I \{i} k, l |
|
|
|
|
í |
|
|
|
|
|
|
C(γ )|C(γ ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
ï |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ï(-1)il + jk δ |
l, k |
, l ÎC(γ ). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
î |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Тогда A |
|
|
|
− Aγ |
|
[Aγ |
|
]−1 A |
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
{i}|{i} |
{i}|I \{i} |
|
|
|
I \{i}|I \{i} |
|
|
|
|
|
|
I \{i}|{i} |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
(-1)il + jk M |
l, k |
(A |
|
|
|
|
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
= ai, i - å ai, k |
|
|
|
|
|
|
|
|
C(γ )|C(γ ) |
|
|
al, i |
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
det(AC(γ )|C(γ ) ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
k C(γ ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
l C(γ ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(−1)il + jk M |
l, k |
(A |
|
) |
|
|
|
|
|
|
|
det(A |
|
|
|
|
|
|
) |
|
|
|||||||||||||||
= ai, i − å |
|
ai, k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C(γ )|C(γ ) |
|
|
|
al, i = |
|
|
|
C(γ )U{i}|C(γ )U{i} |
|
. |
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
det( AC(γ )|C(γ )) |
|
|
|
|
|
|
|
det(AC(γ )|C(γ )) |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
k C(γ ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
l C(γ ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Q.E.D. |
||
Теорема 3.4.1. Пусть функции полезности |
|
АЭ |
|
из множества |
I |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
обобщенно однопиковые, процедура планирования |
g : S ® Rn |
дважды |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
непрерывно |
|
дифференцируема в |
|
S , для |
|
любых |
ρ ÎÃn |
и |
|||||||||||||||||||||||||||||||
~ |
|
−C(ρ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
~ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
s−C(ρ) Î[0,1] |
|
|
|
|
|
|
функции gC(ρ) (sC(ρ) |
, s−C( |
ρ) ) глобально обратимы на |
||||||||||||||||||||||||||||||
множестве |
s |
Î[0, 1] |
|
C(ρ) |
|
, |
|
матрица |
|
|
|
|
Якоби |
|
J (s) = |
∂gi |
(s) |
|
|
имеет |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
C(ρ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂s j |
|
|
|
|
|
|
положительные диагональные |
|
миноры |
|
|
|
для |
|
всех |
|
s S . |
Тогда |
для |
129
механизма, определяемого S = [0,1]n и процедурой g : S → Rn , существует эквивалентный прямой механизм. Þ Доказательство. 1) Проверим выполнение условия С.1. Рассмотрим произвольный вектор r Rn и произвольный ρ n и пусть
rC(ρ) gC(ρ) (s−ρC(ρ), [0, 1]C(ρ) ) .
Уравнение rC(ρ) = gC(ρ)(s−ρC(ρ), sC(ρ)) имеет единственное
решение в силу условия теоремы.
Тогда соответствие
g(s−ρC(ρ), gρ−1(rC(ρ)))
однозначно и условие С.1 выполнено.
2) Проверим выполнение условия С.2. Доказательство проведем по индукции. Легко показать, что для механизмов g(s) с одним АЭ, удовлетворяющих условиям теоремы, условия С.1-С.3 выполнены. Пусть
для механизмов |
g |
I \{i} |
(sAi |
, s |
I \{i} |
) , |
g |
I \{i} |
(sM i , s |
I \{i} |
) |
с количеством АЭ |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
I |
|
−1 |
условия С.2-С.3 выполнены. Докажем, |
что для механизма |
|
g(s) , |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
удовлетворяющего условиям теоремы, выполнены условия С.2-С.3. |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
Рассмотрим механизм |
g |
I \{i} |
(sAi , s |
I \{i} |
) |
|
и |
|
векторы |
|
|
|
состояний |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
γ n−1 |
для |
|
этого |
механизма. Тогда |
по |
теореме |
1 |
для |
|
|
механизма |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
g |
|
|
|
(s |
Ai |
, s |
|
|
) |
множества диктаторства |
|
|
D |
, |
|
|
|
n−1 |
нормальны |
и |
|||||||||||||||||||||||||
|
I \{i} |
|
I \{i} |
|
|
γ |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
γ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
образуют разбиение Rn−1 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
Допустим, |
|
существует |
r |
|
Rn−1 |
|
такой, |
что |
G(sAi |
, G−1i |
(r |
)) |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
M |
|
−i |
|
|
неоднозначно. Так как множества |
|
диктаторства |
|
образуют |
|
|
|
разбиение |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Rn−1 , то существует единственный вектор состояний γˆ n−1 |
|
|
такой, что |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
r |
|
|
Dˆ = G(S |
ˆ ) . Тогда система уравнений |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
−i |
|
γ |
|
|
γ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
= |
g |
|
|
(sA |
i |
, s |
|
|
|
ˆ |
|
|
|
) + E |
|
|
|
|
|
|
(s |
|
|
|
|
ˆ |
|
) |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
I \{i} |
|
|
, sγ |
|
|
ˆ |
|
I \{i}|−C(γˆ) |
−C(γˆ) |
− sγ |
|
ˆ |
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
−i |
|
|
|
|
i |
|
|
C(γˆ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−C(γ ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−C(γ ) |
|
|
|
имеет несколько различных решений. Найдем решение подсистемы данной системы уравнений:
rC(γˆ) = gC(γˆ)(siAi , sC(γˆ), sγ−ˆC(γˆ) ) .
130