Петраков С.Н. Механизмы планирования в активных системах - неманипулируемость и множества диктаторства. М., 2001. 135 с
.pdf87Бурков В.Н., Кондратьев В.В. Механизмы функционирования организационных систем. М.: Наука, 1981.
88Бурков В.Н., Кондратьев В.В., Цыганов В.В., Черкашин А.М. Теория активных систем и совершенствование хозяйственного механизма. М.:
Наука, 1984. - 272 с.
89Бурков В.Н., Новиков Д.А. Введение в теорию активных систем. М.: ИПУ РАН, 1996.
90Бурков В.Н., Новиков Д.А. Как управлять проектами. М.: Синтег, 1997. - 188 с.
91Бурков В.Н., Новиков Д.А. Модели и механизмы теории активных систем в управлении качеством подготовки специалистов. М.: ИЦ, 1997. - 158 с.
92Бурков В.Н., Новиков Д.А. Управление организационными системами: механизмы, модели, методы // Приборы и системы управления. 1997. N 4. С. 55 - 57.
93Бурков В.Н., Опойцев В.И. Метаигровой подход к управлению иерархическими системами // А и Т. 1974. N 1. С. 103 - 114.
94Гантмахер Ф. Р. Теория матриц.
95Гермейер Ю.Б. Введение в теорию исследования операций. М.: Наука, 1971. - 384 с.
96Гермейер Ю.Б. Игры с непротивоположными интересами. М.: Наука, 1976. - 328 с.
97Гермейер Ю.Б., Моисеев Н.Н. О некоторых задачах теории иерархических систем управления / Проблемы прикладной математики и механики. М.: Наука, 1971. С.30-52.
98Глотов В.А., Павельев В.В. Векторная стратификация. М.: Наука, 1984. - 132 с.
99Горелик В.А., Кононенко А.Ф. Теоретико - игровые модели принятия решений в эколого-экономических системах. М. : Радио и связь, 1982. - 144 с.
100Данилов В.И. Модели группового выбора (обзор) // Изв. АН СССР. Техн.
кибернетика. 1983. N 1. С. 143 - 164.
101Данилов В.И., Сотсков А.И. Механизмы группового выбора. М.: Наука, 1991.
102Интриллигатор М. Математические методы оптимизации и экономическая теория. М.: Прогресс, 1975. - 606 с.
103Каленчук В.Ф. Разработка и исследование оптимальных процедур планирования в активных системах в условиях неопределенности. М.:
ИПУ РАН, 1990. - 22 с.
104Клейнер Г.Б. Производственные функции: теория, методы, применение. М.: Финансы и статистика, 1986. - 238 с.
101
105Левченков В.С. Элементы эргодической теории с приложениями к проблемам выбора. М.: Изд-во факультета ВМиК МГУ. 1997
106Лезина З.М. Манипулирование выбором вариантов: теория агенды // А и Т. 1985. N 4. С.5 - 22.
107Месарович М., Мако Д., Такахара И. Теория иерархических многоуровневых систем. М.: Мир, 1973. - 342 с.
108Мулен Э. Кооперативное принятие решений: аксиомы и модели. М.:
Мир, 1991.
109Нейман Д., Моргенштерн О. Теория игр и экономическое поведение.
М.: Наука, 1970. - 707 с.
110Новиков Д.А. Механизмы стимулирования в динамических и многоэлементных социально-экономических системах // А и Т. 1997. N 6.
С. 3 - 26. 5
111Новиков Д.А. Оптимальность правильных механизмов управления активными системами. I. механизмы планирования, II. Механизмы стимулирования. Автоматика и телемеханика, 1997, № 2-3.
112Новиков Д.А. Оптимальность правильных механизмов управления активными системами. II. Механизмы стимулирования // А и Т. 1997. N 3. С. 161 - 167.
113Новиков Д.А., Петраков С.Н. Реализуемость механизмов активной экспертизы и механизмов распределения ресурсов, XXXIX юбилейная научная конференция МФТИ. Тезисы докладов, 1996.
114Опойцев В.И. Равновесие и устойчивость в моделях коллективного поведения. М.: Наука, 1977.
115Орлов А.И. Устойчивость в социально-экономических моделях. М.:
Наука, 1979. - 124 с.
116Петраков С.Н. Достаточные условия существования эквивалентного
прямого механизма открытого управления для дифференцируемых процедур планирования, XL юбилейная научная конференция МФТИ. Тезисы докладов. Выпуск 1. 28-29 ноября 1997. С.36
117Петраков С.Н. Необходимые условия неманипулируемости механизмов планирования, сформулмрованные в терминах "множеств диктаторства", XLI юбилейная научная конференция МФТИ. Тезисы докладов. Часть II. 27-28 ноября 1998. С.40
118Петраков С.Н. Эквивалентные прямые механизмы в теории активных систем // Управление большими системами: материалы научно практической конферении. М. СИНТЕГ, 1997. С. 57
119Фишберн П. Теория полезности для принятия решений. М.: Наука, 1978. - 352 с.
102
120Фокин С.Н. Разработка, исследование и применение процедур распределения моноресурса в социально-экономических системах в условиях неопределенности с учетом приоритетов потребителей (на
примере распределения машинного времени на ВЦ в отраслевых НИИ и КБ) / Диссертация на соискание ученой степени канд. техн. наук. М:
ИПУ РАН, 1988. - 166 с.
121Цыганов В.В. Адаптивные механизмы в отраслевом управлении. М.:
Наука, 1991. - 166 с.
122Шрейдер Ю.А. Равенство, сходство, порядок. М.: Наука, 1971. - 254 с.
123Малишевский А.В. Качественные модели в теории сложных систем. - М.:
Наука, 1998. С.124-159
103
Приложение
Лемма 2.1.1. Рассмотрим произвольный rÎ Dρ0 , тогда:
|
|
~ |
|
|
|
|
0 |
~ |
ρ |
(rC(ρ ) ) }, |
|
a) "iÎM(ρ) { (ri |
, r−i ) Î Dρ |
} Û {ri |
> xi |
||||||||
|
|
~ |
|
|
|
|
0 |
|
~ |
ρ |
(rC (ρ) )} . |
б) "iÎR(ρ) {(ri , r−i ) Î Dρ |
} Û {ri |
< xi |
|||||||||
Доказательство. Пусть |
~ |
|
|
ρ |
|
|
|
|
|||
ri |
> xi (rC(ρ) ) . Тогда по определению П.1 |
||||||||||
Dρ0 = {r Rn :rC(ρ) ProjC(ρ ) Dρ , |
|
|
|
|
|||||||
r |
|
> x ρ |
|
(r |
|
|
), |
|
|
|
|
M (ρ) |
M (ρ ) |
C(ρ ) |
|
|
|
|
|
||||
r |
A(ρ ) |
< x ρ |
(r |
|
)}. |
|
|
|
|
||
|
A(ρ) |
|
C(ρ) |
|
|
|
|
|
|
(П.1)
(П.2)
(П.3) (П.4) (П.5)
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
~ |
~ |
) . Так как iÎM(ρ), |
||||
Taк как rÎ Dρ |
, то rC(ρ)ÎProjC(ρ)Dρ. Обозначим r |
= (ri , r−i |
|||||||||||||
то |
rC(ρ) |
~ |
|
ρ ) , |
|
~ |
и (П.3), |
(П.5) |
выполнены. |
Из |
~ |
= r−i |
|||
= rC( |
rA(ρ) = rA(ρ) |
r−i |
|||||||||||||
следует, |
что |
|
|
ρ |
~ |
ρ) ) , |
а так как |
~ |
ρ |
~ |
, то |
||||
rM (ρ)\{i} > xM (ρ )\{i}) (rC( |
ri > xi |
(rC(ρ) ) |
|||||||||||||
~ |
|
ρ |
|
~ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
rM (ρ) > xM (ρ) (rC(ρ) ) . Поэтому справедливо (П.4) и по определению |
Dρ |
||||||||||||||
получаем (П.1). |
|
|
|
|
|
~ |
ρ |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(rC ( |
ρ ) ) верно |
||||
~ |
Обратно, предположение, что при некотором ri |
£ xi |
|||||||||||||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
(ri |
,r−i ) Î DA |
входит в противоречие с определением Dρ . |
|
|
|
|
|||||||||
|
Аналогично доказывается, что имеет место второе утверждение |
||||||||||||||
леммы. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Q. E. D. |
||
Теорема |
2.1.1. |
|
I - |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Пусть |
множество |
активных элементов, |
функции |
||||||||||||
полезности |
элементов |
обобщенно |
однопиковые. |
Пусть |
|
механизм |
h : Rn ® Rn удовлетворяет А.2.1.1 и D=D0 , тогда он неманипулируем. Доказательство: Рассмотрим произвольный профиль ϕ ÎGSPn . В силу
теоремы 1.2.1 для неманипулируемости достаточно показать, что сообщение достоверной информации является равновесием Нэша, то есть
~ |
1 |
~ |
, r−i )) . |
"i Î I, "ri |
Î R ,ϕi (hi (r)) ³ ϕi (hi (ri |
||
|
~ |
1 |
|
Допустим, что существуют элемент iÎI и ri |
ÎR такие, что |
||
|
~ |
, r−i )) . |
(П.6) |
ϕi (hi (r)) < ϕi (hi (ri |
Так как B - разбиение, то существует единственный вектор ρÎ n, такой, что rÎDρ. Возможны три случая: i может принадлежать либо M(ρ), либо C(ρ), либо A(ρ). Рассмотрим последовательно три этиx случая.
104
~ |
|
|
1) |
Пусть |
|
|
|
~ |
i ÎC(ρ) , |
|
|
тогда |
||||||||
|
1 |
,ϕi (hi (r)) |
|
|
|
|
|
|
|
как |
ri |
единственный |
||||||||
"ri |
Î R |
= ϕi (ri ) ³ ϕi (hi (ri , r−i )) так |
||||||||||||||||||
максимум ϕi (xi ) |
по xi. |
|
|
|
|
|
|
и A.2.1.1, r > h (r) = xρ (r |
|
|
||||||||||
2) |
Если i ÎM(ρ) , то из определения D |
ρ |
|
) . |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
i |
i C (ρ) |
|
||
Так |
|
как |
|
|
Dρ0 |
= Dρ , |
|
то |
по |
|
лемме |
2.1.1 |
для |
любого |
||||||
~ |
ρ |
|
|
|
~ |
~ |
|
|
|
0 |
|
|
|
~ |
|
|
|
|
|
|
ri > xi |
(rC(ρ) ), r = |
(ri , r−i )Î Dρ = Dρ и |
ϕi (hi (r )) = ϕi (hi (r)). |
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
Если |
|
~ |
ρ |
(rC (ρ ) ) , |
то |
~ |
|
|
0 |
= Dρ |
и существует |
||||||
|
|
|
|
ri |
£ xi |
(ri ,r−i )Ï Dρ |
||||||||||||||
единственный вектор |
~ |
|
n |
|
|
|
~ |
Î Dρ . Если верно (П.6), то из |
||||||||||||
ρ ÎÃ такой, что |
|
r |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
~ |
|
|
|
|
|
того, что ϕi(xi) не убывает по xi при xi<r следует, что при сообщении |
~ |
|||||||||||||||||||
ri , |
||||||||||||||||||||
i-ый |
активный |
элемент |
должен |
получать |
~ |
|
Поэтому |
|||||||||||||
hi (r ) > hi (r) . |
||||||||||||||||||||
~ |
~ |
~ |
|
ρ |
|
|
~ |
~ |
~ |
~ |
|
|
|
~ |
|
|
|
|
|
|
ρ |
|
|
|
ρ |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
xi (rC(ρ ) ) > xi |
|
(rC (ρ ) ) , xi |
(rC(ρ ) ) > ri и i Î A(ρ) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
~ |
|
|
|
|
В силу того, что |
ρ |
(rC(ρ ) |
|||||
|
|
xi |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
~ |
что |
~ |
(r |
|
) > rˆ |
> xρ (r |
|
) . Из |
||
xρ |
ρ) |
|
|||||||
|
i |
C( |
i |
i C (ρ ) |
|
|
|
||
что |
|
0 |
|
Аналогично |
rˆÎ D |
0 |
|||
rˆÎ D~ . |
ρ |
||||||||
|
|
ρ |
|
|
|
|
|
|
) > xρ (r |
|
ρ ) |
) |
существует |
rˆ Î |
1 такой, |
||||
~ |
i |
C ( |
|
|
i |
R |
|
|
||
(r |
|
) > rˆ |
и леммы 2.1.1 |
вытекает, |
||||||
xρ |
|
|||||||||
i |
C(ρ) |
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
и |
rˆÎ D |
0 |
|
|
0 |
как |
D=D |
0 |
то |
|
ρ |
I D~ . Но так |
|
||||||||
|
|
|
|
|
ρ |
|
|
|
|
D0 I D0 = Æ . Получили противоречие и (П.6) не выполнено.
~
ρ ρ
3) Случай, когда i A(ρ) рассматривается аналогично случаю 2).
|
|
|
h : Rn ® Rn |
Q.E.D. |
Лемма 2.2.1. |
Пусть |
механизм |
удовлетворяет |
|
предположениям |
А.2.1.1, |
А.2.2.1 и для |
него D = D0 , тогда этот |
механизм коалиционно неманипулируем.
Доказательство: Допустим, выполнены условия теоремы и механизм
~ |
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
~ |
|
J |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
h(r ) коалиционно манипулируем, тогда r R |
|
, J I , |
$rJ Î R |
|
|
|
|||||||||
такие, что |
|
|
~ |
³ ϕ j (hj (rJ , r−J )) и |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
j J → ϕ j (hj (rJ , r−J )) |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
~ |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
i J → ϕi (hi (rJ , r−J )) > ϕi (hi (rJ , r−J )) . |
|
|
|
|
|
||||||||
|
Из определения |
|
однопиковых |
функций |
полезности |
получаем |
|||||||||
r R |
n |
~ |
|
J |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
, J I , $rJ Î R |
|
|
такие, что |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
~ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(П.7) |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
hJ (rJ , r−J ) < ρ >J hJ (rJ , r−J )) и |
|
|
|
||||||||||
$j |
|
|
|
|
~ |
)) < ρ > j hj |
(rJ , r−J ) . |
|
(П.8) |
||||||
|
Î J I (A(ρ) U M (ρ)) : hj (rJ , r−J |
|
105
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
~ |
n |
|
|
|
|
|
|
~ |
= |
~ |
|
|
|
|
|
|
|
|
~ |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Рассмотрим ρ ÎÃ |
|
такой, что r |
(rJ , r−J )Î Dρ |
и ρ ¹ ρ . |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
~ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Тогда найдется из (П.8) |
множество |
|
Æ Í K Í J \{ j*} , такое, |
что |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
~ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
~ |
|
|
|
|
|
|
hJ \K (r) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
hK (r ) = hK (r) и hJ \K (r ) < ρ >J \K |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
~ |
|
|
|
~ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рассмотрим вектор r |
= (hJ (r ), r−J ) . Из определения следует, что |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
~ |
= |
|
|
|
~ |
|
|
|
|
0 |
|
~ |
, J ) |
|
|
|
|
~ |
~ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
(hJ (r ), r−J )Î D |
|
(ρ |
так как r |
= (rJ , r−J )Î Dρ . |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
~ |
|
|
|
|
|
|
С другой стороны r = (rJ , r−J )Î Dρ и выполнено (П.7), тогда |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
~ |
= |
|
|
|
~ |
|
|
|
|
0 |
( |
ρ, K) |
так как r = (rJ , r−J )Î Dρ . |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
|
(hJ (r ), r−J )Î D |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Тогда |
|
|
0 |
|
0 |
~ |
|
|
¹ Æ . При |
|
этом, |
c j (ρ, K) ¹'c' |
в силу |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Dc(ρ, K ) |
I Dc( |
ρ |
, J ) |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
(П.8), |
|
а |
|
|
|
|
|
~ |
|
|
|
поскольку |
j |
|
Î J , |
откуда |
следует, |
что |
|||||||||||||||||||||||||||
|
c j (ρ, J ) ='c' , |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
c j (ρ, K) ¹ c j |
(ρ, J ) |
и $ρ, ρ : Dρ I Dρ ¹ Æ . Получили противоречие. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
~ |
|
|
|
|
~ |
|
|
~ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
h : Rn ® Rn |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Q.E.D. |
||||||||||||
Лемма |
2.2.2. |
|
Пусть |
механизм |
|
удовлетворяет |
А.2.1.1 и |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
неманипулируем, тогда D = D0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
Доказательство: |
Допустим, |
|
$ρ1, ρ 2 ÎÃn |
такие, |
|
что |
|
ρ1 ¹ ρ 2 |
и |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
0 |
|
|
I Dρ2 |
¹ Æ . |
|
Тогда существуют |
~ |
|
0 |
|
I Dρ 2 |
и |
r |
Î Dρ1 |
такие, |
что |
||||||||||||||||||||||||||||
Dρ1 |
|
r Î Dρ1 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
~ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
rC(ρ1) = rC (ρ1) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
~ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Рассмотрим |
множество |
K = {i Î I |
|
|
|
|
K |
IC(ρ |
1 |
) = Æ . |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
ri ¹ ri } , |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
Рассмотрим |
|
|
|
возрастающую |
|
|
последовательность |
|
|
ik Î K, k = |
1, |
K |
. |
||||||||||||||||||||||||||||||||
Определим последовательность точек r k , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
что r0 = r , |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
k = |
0, |
K |
|
таких, |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
k +1 |
|
|
|
|
k |
|
|
~ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
K |
|
|
~ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
r |
|
|
|
= |
(r−ik , rik |
|
) . При таком определении r |
|
|
|
|
= r . |
|
|
Lk |
= [rk−1, r k ] , |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Определим |
последовательность |
|
|
|
|
отрезков |
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
Lk Î Dρ01 |
|
|
|
r0 = r Î Dρ1 , а |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
k = |
1, |
|
K |
. Все отрезки |
по лемме 2.1.1. Так как |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
K |
|
|
~ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
r |
|
|
|
= r |
Î Dρ2 , |
|
|
|
то |
найдется |
|
номер |
|
|
|
k Î{0, ..., |
K |
} |
|
такой, |
|
|
что |
||||||||||||||||||||||
|
k−1 |
|
|
|
|
|
|
|
~ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
r |
Î Dρ1 , r |
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
Î Dρ , где ρ ¹ ρ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
~ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В |
силу |
того, что |
|
|
механизм |
|
h : Rn ® Rn |
|
неманипулируем, |
||||||||||||||||||||||||||||
h |
|
|
|
(rk−1) = h |
−1 |
(r k ) . |
Пусть |
|
существует |
|
|
j I |
|
|
такой, |
|
|
|
что |
||||||||||||||||||||||||||
ik−1 |
|
|
|
|
|
|
|
ik |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
106
hj (r |
k−1 |
) ¹ hj (r |
k |
) , тогда либо |
1 |
¹ c , либо |
~ |
1 |
¹ c . |
|
|
ρ j |
ρ j ¹ c , например, |
ρ j |
Рассматривая коалицию { j, ik−1} , при положении истинной точки пиков - r k−1 получаем, что ей выгодно сообщать r k . Аналогично, если ρ~ j ¹ c .
Q.E.D
Лемма 2.2.3. Пусть механизм h : Rn ® Rn удовлетворяет А.2.1.1 и коалиционно неманипулируем, тогда выполнено А.2.2.1. Доказательство: Из условий леммы леммы 3.2.1 следует, что D = D0 .
|
Рассмотрим произвольный |
ρ ÎÃn и произвольное подмножество |
||||||||||||||||||||||||
J I . Обозначим K = J I (A(ρ) U M (ρ)) . |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
Рассмотрим возрастающую последовательность ik Î K, k = |
1, |
K |
. |
||||||||||||||||||||||
r−′k1 |
Рассмотрим |
D(ρ, k1) . |
|
"r Î D(ρ, k1) $r′Î Dρ |
такой, |
что |
||||||||||||||||||||
= r−k1 . |
Тогда из |
коалиционной |
манипулируемости |
следует, |
что |
|||||||||||||||||||||
hk (r′) = hk |
(r) . Докажем, что h(r¢) = h(r) . |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
hj (r′) ¹ hj (r) . |
|||
|
Допустим, что |
h(r¢) ¹ h(r) |
|
|
и |
j I |
|
такой, |
что |
|||||||||||||||||
Рассмотрим два случая: (1) |
|
ρ j ¹ c |
и (2) ρ j = c . |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
1. |
Пусть ρ j ¹ c и |
rj |
< ρ > j |
hj (r) . Если |
hj (r) < ρ > j hj (r′) , то при |
|||||||||||||||||||||
истинной точке пиков r′ и функции полезности |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
ì |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
¢ |
|
|
|
¢ |
< ρ > j |
x j ; |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
ï- |
|
|
|
¢ |
|
|
¢ |
|
x j - rj |
|
|
, rj |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
ï |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
hj (r ) - rj |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
ϕ j (x j ) = í |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
¢ |
|
|
|
|
|
|
|
< ρ > j |
¢ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
ï- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, x j |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
h |
|
(r) - r¢ |
|
x j - rj |
|
rj . |
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
ï |
|
j |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
î |
|
|
|
|
j |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
выгодно образование коалиции { j, k1} и сообщение r . |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
Если hj (r′) < ρ > j |
hj (r) , то аналогично получаем, что при точке |
||||||||||||||||||||||||
пиков r и функции полезности |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
ì- |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
x j - rj |
|
, rj < ρ > j x j ; |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
ï |
|
|
|
|
|
¢ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ï |
|
hj (r) - rj |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
ϕ j (x j ) = í |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, x j < ρ > j rj . |
|
|
|
|
||||
|
|
|
ï- |
|
|
|
|
|
|
|
x j - rj |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
h |
|
¢ |
|
|
¢ |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
ï |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
î |
|
|
j |
|
|
|
j |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и сообщение r′ . |
|
|
|
|
||||||||||
выгодно образование коалиции { j, k1} |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
Тогда hj (r′) = hj (r) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
107
2. |
Если |
ρ |
j |
= c , то |
h |
j |
(r′) ¹ r |
j |
= r′ |
и при истинной точке |
пиков |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
j |
|
|
|
|||
выгодно образование коалиции { j, k1} и сообщение r . |
|
|||||||||||||
|
Таким |
образом, |
h(r) = h(r′) |
при |
любых |
r Î D(ρ, k1) , |
r′ Î Dρ |
|||||||
таких, что r−′k1 |
= r−k1 . |
Тогда r−k1 |
< ρ >−k1 |
h−k1 (r) |
и rk1 = hk1 (r) , |
откуда |
||||||||
следует, что r Î Dc(ρ, k1) |
и D(ρ, k1) Í Dc(ρ, k1) . |
|
|
|||||||||||
|
Так |
|
|
как |
|
|
|
c(c(ρ, {k1}), {k2}) = c(ρ, {k1, k2}) , |
а |
|||||
D(c(ρ, {k1}),{k2}) = D(ρ,{k1, k2}) , |
то аналогично предыдущему случаю |
|||||||||||||
получаем: |
|
|
Dc(ρ, {k1, k2}) |
Í D(ρ, {k1, k2}) . |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
Продолжая по индукции, получаем
"J Í I ® D(ρ, J ) Í Dc(ρ, J ) .
Q.E.D.
Лемма 2.3.1. Пусть функция полезности активного элемента i I однопиковая и сепарабельная, тогда любой элементарный механизм
e : RJi ® R Ji неманипулируем.
Доказательство: Допустим |
|
механизм |
e(r) |
|
манипулируем, тогда |
||||||||||||
найдутся точки пика r |
i |
Î R |
Ji |
|
~i |
Î R |
Ji |
|
|
|
~i |
)) > ϕi (e(r |
i |
)) . |
|||
|
|
и r |
|
такие, что ϕi (e(r |
|
|
|||||||||||
Пусть |
ri Î D |
ρ |
i , |
где |
ρi ÎÃJi . |
Тогда |
|
в силу |
определения |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
~i |
|
|
|
|
|
|
элементарного |
механизма и |
того, |
что |
e(r |
i |
) |
выполняется |
||||||||||
|
) ¹ e(r |
e−C (ρi )(ri ) < ρ i > −C
такая, что e j (ri ) ¹ e
Обозначим
r−iC(ρi ) < ρ i >−C(ρi )
|
|
|
|
|
|
~i |
) |
(ρi ) e−C(ρi )(r |
|||||||
|
~i |
) . |
|
|
|
||
j (r |
|
|
|
|
|||
|
e |
K |
|
|
~i |
|
i |
|
|
= e(rK |
, rJi |
||||
e |
|
|
i |
) |
(ri ) < |
ρ |
|
|
−C (ρ |
|
|
|
|
и найдется компонента плана j Î Ji |
|||
\K ) , |
Æ Í K Í Ji . |
|
В силу того, что |
|
i |
|
~i |
) |
и сепарабельности |
|
>−C (ρi ) e−C(ρi ) (r |
функции |
полезности |
ϕ i (xi ) , для любого |
j Î J |
i |
\ C(ρi ) выполняется |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
ϕ i (e ) ³ ϕ i (e{ j1} ) . По индукции получаем, |
что ϕ i (e ) ³ ϕ i (eJi \C (ρi ) ) и |
||||||||||||
далее ϕ |
i |
(e |
|
) ³ ϕ |
i |
(e |
Ji |
) = ϕ |
i |
~ |
|
|
|
|
|
|
|
|
(e(r )) . Получили противоречие. |
||||||||
|
Таким образом утверждение леммы верно. |
|
Q.E.D. |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Теорема 2.3.1. Пусть функции полезности активных элементов однопиковые и сепарабельные, прямой механизм h : RJ ® RJ ограничен
108
и удовлетворяет условию А.2.3.1, тогда механизм h(r) , r R J |
является |
неманипулируемым. |
r−i RJ−i |
Доказательство: Докажем, что при каждом фиксированном |
механизм hi (ri , r−i ) является неманипулируемым для i - го активного элемента.
|
|
|
|
Рассмотрим |
произвольный |
вектор |
|
r |
|
R J−i |
и произвольный |
|||||||||||||||||||||||
rJi RJi |
. Пусть r = (rJi |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
J−i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
, rJ−i ) |
принадлежит некоторому множеству Dρ и |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
рассмотрим |
~ |
|
|
|
|
~ |
|
J |
|
~ |
|
|
|
|
|
|
|
|
Для |
каждого |
~ |
~ |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
(ρ) = {ρ |
|
ρ−Ji =ρ−Ji } . |
|
ρ (ρ) |
||||||||||||||||||||||||||||||
определены |
функции |
|
&&& |
~ |
(r |
~ |
|
|
) , |
|
принимающие |
постоянные |
||||||||||||||||||||||
x ρ |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−C (ρJi ) |
C( |
ρJ−i ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
значения при |
заданном |
r |
|
|
R J−i |
, |
поэтому |
|
будем |
считать, |
что |
для |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
~ ~ |
|
|
|
|
|
|
J−i |
|
|
|
|
ρ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
каждого ρ (ρ) |
определены числа x |
&&& |
|
~ |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−C (ρJi |
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
~ |
|
|
Поскольку верно |
D = D0 и из А.3 для любого |
ρ J , i I , |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
и |
|
|
|
~ |
|
|
|
J ) |
|
найдется |
|
|
|
r Dρ |
|
такой, |
|
что |
|||||||||||||
J Ji |
|
|
|
r Dc(ρ, |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
~ |
|
~ |
|
|
|
|
ρ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
c(ρ, J ) |
|
|
|
|
= x |
(rC( |
ρ ) ) |
|
|
верно, |
|
что |
|
для |
всех |
j Ji |
существуют |
||||||||||||||||
|
|
(rC(c(ρ , J )) ) |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
~ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
числа xρj j R{ j} такие, что для любого ri |
R Ji |
|
такого, что rji < ρ j > xρj j |
|||||||||||||||||||||||||||||||
выполняется |
h |
j |
(r) = x |
ρ j |
. |
Из |
односвязности |
|
множеств |
Proj |
|
D |
ρ |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
j |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C (ρ) |
|
|||
следует, что для всех |
rj |
таких, что |
|
xρj |
j |
< ρ j |
|
> rji |
для любого |
|
ρ j |
|||||||||||||||||||||||
выполнено hj (r) = rj . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
Таким образом, механизм hi (ri , r−i ) |
|
является элементарным для |
||||||||||||||||||||||||||||
i -го |
элемента и |
в |
силу |
произвольности |
i , |
механизм |
h(r) |
является |
неманипулируемым.
Q.E.D.
Лемма 2.3.1. ММ выполнено.
Доказательство: очевидно из свойств 2.3.1-2.3.3 Q.E.D. Лемма 2.3.2. НСМ выполнено.
Доказательство: очевидно из свойств 2.3.1-2.3.3.
Q.E.D.
Лемма 2.3.3. Если d = 0 и åD > R , то ОПВ не выполнено. В
j I
противном случае ОПВ выполнено.
109
Доказательство: очевидно из свойств 2.3.1-2.3.3.
Q.E.D.
Лемма 2.3.4. ПО выполнено.
Доказательство: очевидно из свойств 2.3.1-2.3.3.
Q.E.D.
Лемма 2.1.13. Для любого r Î[d, D]n , верны следующие утверждения:
1) если |
ri > h(r) , |
то |
"ri ³ h(r) , |
h(ri , r−i ) = h(r) |
и |
"ri |
< h(r) , |
|
|
|
~ |
~ |
|
~ |
|
~ |
|
|
|
|
|
|
|
h(ri , r−i ) < h(r) ; |
то |
"ri £ h(r) , |
h(ri , r−i ) = h(r) |
и |
"ri > h(r) , |
||
2) если |
ri < h(r) , |
||||||
|
|
|
~ |
~ |
|
~ |
|
~ |
|
|
|
|
|
|
|
h(ri , r−i ) > h(r) . |
|
|
|
|
|
|
|
Доказательство: докажем |
эту лемму |
следующим |
способом: |
будем |
|||
рассматривать последовательное изменение сообщения |
~ |
|
|||||
ri Î[d, D] |
некоторого активного элемента с номером i I . При этом возможны три варианта: активный элемент выходит из некоторого множества El разбиения E и возможно переходит в множество El−1 , либо в множество
El+1 , то есть, если i Î El и k Î El−1 , а j Î El+1 , то либо ril−1 |
~ |
£ ri , либо |
||
£ ri |
||||
~ |
. Если элемент |
i находится между двумя |
множествами |
|
ri £ ri £ ril+1 |
разбиения, то этот случай сводится к предыдущему, поскольку он задает
еще одно множество |
El разбиения E , состоящее из одного элемента |
||||||
El ={i} . При этом, возможно, что номер i |
лежит либо выше, либо ниже |
||||||
множества Ω(r) в упорядочении, задаваемом |
t ÎT E . Также, возможно |
||||||
~ |
~ |
|
|
|
|
|
|
два варианта: ri > ri и ri < ri . |
|
|
|
|
|||
Обозначим |
δ = max α , |
λ = |
min α . |
Обозначим |
|||
|
|
|
α Ω(r) |
|
|
α Ω(r) |
|
= {α Θ :α > δ } и L ={α ÎQ :α > λ}. Все возможные варианты сведем |
|||||||
в следующую таблицу |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
~ |
|
|
~ |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
ri > ri |
|
|
ri < ri |
|
|
i |
|
3 |
|
|
2 |
|
|
i Ω |
|
1 |
|
|
1 |
|
|
i Λ |
|
2 |
|
|
3 |
|
где одинаковыми числами обозначены симметричные ситуации. Таким образом, достаточно рассмотреть три случая:
1) i Ω , ~ri < ri ;
110